第三章泰勒中值定理.ppt

三、几个初等函数的麦克劳林公式 e 的近似计算公式 估计误差 解 例1 解 例2 泰勒公式 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 其中, 的偶数阶导数为零, 故一般将 展至偶数项, 以提高精度. 泰勒公式 解 例3 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 其中, 的奇数阶导数为零, 故一般将 展至奇数项, 以提高精度. 实际应用中, 计算 的近似值时, 均展开到 2m 阶马克劳林公式, 即有 它们的误差估计式均为 请自己算一下 解 例4 例5 其中 常用函数的Maclaurin公式 要熟记! 例6 解 三次多项式 解 一阶和三阶Taylor公式及相应的Lagrange型余项. 的一阶泰勒公式是 三阶Taylor公式是 例7 例8 解 解 用间接展开的方法较简便. 两端同乘x,得 带Lagrange余项的公式展开问题 注 一般不能用这种方法. 三、泰勒公式的应用 1. 在近似计算与误差估计中的应用 误差 M 为 在包含 0 , x 的某区间上的上界. 需解问题的类型: 1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ; 2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差; 3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围. 已知 例 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 解: 令 x = 1 , 得 由于 欲使 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 的麦克劳林公式为 说明: 注意舍入误差对计算结果的影响. 本例 若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 总误差为 这时得到的近似值不能保证误差不超过 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 . 解 满足要求. 2、其它应用 解 因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了. 例 常用函数的泰勒展开求 型未定式 和差不能等价代换理由: 解 例 求 错解 1) 用L’Hospital法则计算本题. 解 例 求 思考: 以上解答对否?原因何在？ 2) 用Maclaurin公式计算本题. 3) 本题答案为1/3. 解 例 求极限 例 是x的几阶无穷小? 解 因 故由于 有 显然, 它是x的4阶无穷小. 例 求 解: 由于 用洛必塔法则不方便 ! 用泰勒公式将分子展到 项, 该式中等号成立. 由泰勒 (马克劳林) 公式 综上所述, 即得所证. 例 证 谢谢观看！ 几个初等函数的Maclaurin公式 泰勒(Taylor)（英）1685-1731 近似计算与误差估计 其它应用 §3.3 Taylor公式 Taylor中值定理的建立 Taylor公式的数学思想 例：用多项式逼近函数 4 2 2 4 6 4 2 0 2 4 6 泰勒多项式逼近 6 4 2 0 2 4 6 多项式函数 特点 (1)易计算函数值; (2)导数与积分仍为多项式; (3)多项式由它的系数完全确定, 又由它在一点的函数值及导数值确定. 而其系数 用怎样的多项式去逼近给定的函数 误差又如何呢 用简单的、熟悉的函数来近似代替复杂函数. — 应用 用多项式近似表示函数 理论分析 近似计算 Taylor公式的建立 回想微分 一次多项式 （如下图） 如 以直代曲 需要解决的问题 如何提高精度 ? 如何估计误差 ? 问题 (1) 系数怎么定? (2) 误差(如何估计)表达式是什么? 不足 1. 精确度不高； 2. 误差不能定量的估计. 希望 用适当的高次多项式 n n n x x a x x a x x a a x P ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 - + + - + - + = L ) ( x f ? 一次多项式 泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 一阶微分 带皮亚诺余项的 泰勒公式 拉格朗日中值定理 泰勒公式 带拉格朗日余项的 泰勒公式 还有带其它余项的 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的马克劳林公式 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 如果我们希望提高精度, 应怎么办? 由极限知识可知, 此时应有 我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要 补充什么条件. 运用罗必达法则, 得 该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式. 运用罗必达法则计算极限. 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式. 仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶 泰勒公式. 则在该邻域内有 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的马克劳林公式 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 定理条件 称为零阶带拉格朗