第三章矩阵的初等变换与线性方程组.ppt

一、矩阵秩的概念 *河北科大理学院 * * 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 本章内容 矩阵的初等变换 矩阵的秩 线性方程组的解 方程组的初等变换 阶梯形方程组 (1)对调某两个方程； (2)用非零数乘以某个方程； (3)某个方程的k倍加到另一个方程上去． 解 引例: 消元法解线性方程组 第9讲 矩阵的初等变换 一 线性方程组的初等变换 (3) 把某一行(列)的k倍加到另一行 上去. 二 矩阵的初等变换 定义1 下面三类变换称为矩阵的初等行 变换 (1) 对调两行 ; (2) 以一个非零数k乘以某一行 ; elementary transformation 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换. 注 三种初等变换都是可逆的，且逆变换属同一类型 的初等变换 (列) (列) (列) (列) 与B等价，记作 A B ~ 则称A与B行等价， 定义 2 若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B, 矩阵之间的等价关系具有下列性质： (1) 反身性 ———— (2) 对称性 ———— (3) 传递性 ———— reflectivity symmetry transitivity equivalent 记作 ~ r A B 类似地,可定义矩阵的列等价： A B ~ c 若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 则称A A A ~ 若 则 A B, ~ B A ~ 若 则 A B, ~ B C, ~ A C ~ 行最简形 reduced echelon form 经过有限次初等行、列变换,可化成等价标准形 注 对于任意矩阵,总可以经过有限次初等行变换 行阶梯形 echelon form 标准形 standard form 把它化成行阶梯形， 或行最简形. r r r+c (2) 的充分必要条件是存在n阶可逆阵Q， A B ~ c (3) 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P 三 初等变换的基本性质 及n阶可逆阵Q, 使得 (1) 的充分必要条件是存在m阶可逆阵P， ~ r A B 定理1 设A与B为 矩阵， 使得 使得 推论 方阵A可逆的充分必要条件是 A E ~ r 四 利用初等变换求逆矩阵及相关问题 例1 设 求 ~ r ? ~ r 例2 设 的行最简形为F，求F, 并求一个可逆阵P，使得PA=F ? PA=F (行最简形), 注 对于矩阵方程 只需转置: 例3 解矩阵方程AX=B, 其中 ~ r 的解. 例4 设 求线性方程组 AX=B ，X? 一 矩阵秩的定义 定义4 矩阵A的最高阶非零子式的阶数r称为A的秩, 规定,零矩阵的秩为0. 非零行(列)矩阵的秩为1 可逆矩阵的秩等于其阶数 (满秩矩阵） full rank rank , 即 记作 第10讲 矩阵的秩 注 降秩 例5 求下列矩阵的秩. 定理3 若 则 推论 若P、Q可逆，则R(PAQ) = R(A) 例6 设A为 矩阵, R(A)=2, 求R(AB). 二 初等变换法求矩阵的秩 初等变换法: 用初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵, 则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例7 求矩阵 的秩. 例8 设 已知R(A)=2，求 及 三 常用的矩阵秩不等式 当 时， 例9 设A为n阶矩阵，证明 例10 设 且 则 列满秩 以后陆续证明 对于线性方程组Ax=b, (1) 当 时,方程组无解; (2) 当 时,方程组有解; 时,有无限多个解. 且 时,有唯一解, 第11讲 线性方程组的解 相容 不相容 特解 通解 不妨设 R(A)=r. 的行最简形为 (1)无解的充分必要条件是R(A)R(A, b); 一 线性方程组解的判别定理 定理4 n元线性方程组 Ax=b (2)有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A, b)=n; (3)有无限多个解的充分必要条件是R(A)=R(A, b)n. (或：有解的充分必要条件是R(A)=R(A, b)) 推论1 Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)n 推论2 AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A, B) 例11 证明