第三章粘性流体流动的微分方程.ppt

x z y dx dz dy X方向上作用于流动的流体微元的机械应力分量图 考察一个流体微元在x方向上所受到的机械应力情况。此微元的6个表面都受到与之 毗邻的、由外部流体而来的机械应力。每一个应力又都可分解为x，y，z方向上的分量。图中只示出了x方向上的应力分量。 当流体微元的体积缩小为一点时，可以想象，相对两表面上的法向应力与切向应力都相应地大小相等，方向相反。 因此，在流场中，任何一点流体所承受的机械应力状态，仅采用9个机械应力分量即可完全表达，3个法向应力和6个剪应力，每个方向两个应力分量。 可以证明上述6个剪应力可以使流体微元发生旋转。同时可以证明它们彼此不是独立的，而是相互关联的。 下面将导出其相互关系。 将图中的流体微元的x－y平面上一个相应平面分离出来加以观察，则环绕该平面四周上所作用的4个剪应力表示如下图： y x 0 (x,y,z) 图中平面的形心点为0，假设有一根平行于z轴的轴线穿过形心点时，显然，这4个剪应力对于该轴线会产生力矩，使得流体微元围绕轴线旋转起来。 力矩应等于流体质量、旋转半径平方以及角加速度三者之积。 应指出：只有剪应力才能对旋转轴产生力矩，而法向应力和重力的作用是通过上述形心的，故其不会产生力矩（即旋转半径为零所致）。 令：逆时针方向旋转力为正，反之为负， 则可写出如下力矩方程： 简化上式得： （3－24） 当流体微元小到趋于零时，则旋转半径 0因此上式右侧趋于0，于是可得： （3－25a） 同样的道理可得： （3－25b） （3－25c） 这就是说，前述9个机械应力中只有6个是独立的。 运动微分方程的推导： 任参照上述流体微元的受力图，首先考察x方向上的净机械力分量 显然可用下式表示： （3－26） 简化后： （3－27） 再考察x方向上的总外力分量：它等于机械力分量与重力分量之和，即： （3－28） 将式（3－21a）、（3－22）和（3－27）代入方程（3－28）得： （3－29） 同理可得： （3－30） （3－31） 上式三式即为粘性流体的运动微分方程。 对运动微分方程的分析： 上述三个运动微分方程中，只有三个已知量X，Y，Z，而独立的未知变量达10 个之多，即： 因此要想得到其解析解是根本不可能的。只有通过适当的简化、假设才能在某些特殊情况下求解。下面将通过牛顿型流体应力与形变速率之间的关系导出奈维－斯托克斯方程。 2 应力与形变速率之间的关系 一 剪应力 对牛顿型流体，剪应力与剪切速率成正比，即对于一维流动，且速度梯度与y轴方向相同时有： （3－32） 其中 为x方向上的形变速率，或称剪切速率。 如果将形变速率表示成平面夹角φ变化速率的形式将更为方便。 x y 如图所示： 对于一维流动，设流体微元的x－y平面原为矩形，由于剪切力的作用，此矩形必然发生形变，经dθ后，变成了虚线 所示的平行四边形，这一变化可作如下解释： 当粘性流体流动时，由于粘性的作用，会使平行于x轴的两相对平面产生相对运动，亦即在图示的情况下，在dθ的时间内，相对运动使上层流体较下层流体多走行了 一段距离： ，与此相应，在x－y平面上的原矩形平面的夹角也变化了dφ（以弧度表示），dφ的正切可表示为： （3－33） 为何取负号，是因为当上层多行走一段距离时，φ值减小了，故d φ为负值。 由于d φ很小，所以 故上式写成 （3－34） 代入牛顿粘性定律得： （3－35） 为角形变速率，可理解为微分长度dy以原点为圆心旋转时的角速度。 利用该式分析三维流体流动时的情况： 粘性流体在流动过程中，必然产生体积形变，由原来的方形体变成菱形微元六面体。 分析一下x－y平面上所承受的剪应力分量与形变速率之间的关系， y x y x 经微分时间dθ后，φ由 变成 （其中 和 均为负值），同一维流动相似，可以写成： 故 （3－36） 由于牛顿型流体的剪应力与形变速率成正比，所以将上式代入式（3-35）后，便可写成： 同理： （3－37a） （3－37b） （3－37c） * * 第三章 粘性流体流动的微分方程 前面已讨论了总质量、总能量及总质量衡算方程，用它们可以解决工程设计中的许多问题。 总衡算的对象是某一宏观控制体。 特点：由进出口流股的状态、控制体范围与环境之间的交换情况去确定内部某些量发生的总变化。 例：总质量衡算只是考察流体通过圆管的平均速度，而不能确定截面上的速度分布，这一问题要由微观衡算来解决，微观衡算所依据的定律与总衡算一样。 微分衡算方程又称为变化方程，它们描述与动量、