无穷积分的性质及收敛判别.ppt

返回 后页 前页 §2 无穷积分的性质及收敛判别 一、无穷积分的性质 本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法 返回 收敛的充要条件是: 一、无穷积分的性质 证 极限的柯西准则,此等价于 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 定理11.1 性质1 为任意常数,则 即 根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2. 性质2 h(x) 在任意 [a, u]上可积, 且 证 因为 收敛,由柯西准则的必要性, 例1 , f (x), g (x), 若 再由柯西准则的充分性, 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是: 证 设 非负函数 f , g 在任何有限区间[a, u]上可积, 且 定理11.3 (比较判别法) 设定义在 上的两个 增函数的收敛判别准则, 从而 F (u) 是单调递增的 由单调递 存在 满足 证 由非负函数无穷积分的判别法, 第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立. 例2 判别 的收敛性. 解 显然 设 f (x), g(x) 是 上的非负连续函数. 证 例3 推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且 证 由于 证 即 推论2 设 f 是定义在 上的非负函数, 在任何 限区间 [a, u] 上可积. 推论3设 f 是定义在 上的非负函数,在任何有 说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写 出它的证明. 例4 讨论 的收敛性 ( k 0 ). 解 (i) 若无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 三、一般函数无穷积分的判别法 何有限区间 [a, u]上可积, 定理11.4 (绝对收敛的无穷积分必收敛) 若 f 在任 因此 再由柯西准则的充分性, 又对任意 证 由柯西准则的必要性, 对 因 收敛的无穷积分 不一定是绝对收敛的. 例5 的收敛性. 判别 解 由于 一般函数的无穷积分还可试用以下的狄利克雷判 定理11.5(狄利克雷判别法） 证 故 别法和阿贝尔判别法判别其收敛性.