O第4章_向量空间.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * -*- 是向量空间. 例4 证 -*- 定义 设 是一向量组, 称 为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为 -*- 例5 设向量组 与向量组 等价, 证明 同理 证 -*- 向量空间 V 的一个最大无关组, 又称 V 的一个基(或坐标系). 基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V) = r . 此时称 V 是 r 维的向量空间. 设有向量空间 及 ，若　　　 ，就称 是 的子空间． 设 是由 维向量所组成的向量空间，则 定义 定义 -*- 设向量空间 V 的一个基为 ,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为 定义 数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标. 的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。 -*- 例6 证明 都是 V 的基. dim( V ) = ?, 并求向量 在这两个基下的坐标. 证 显然线性无关, 又 V 中的任一向量 所以 是 V 的一个基. dim( V ) = 2. V 中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基, 也是 V 的一个基 所以 -*- 所以 在基 下的坐标为 (3 , 5) 为求 在基 下的坐标, 需解方程组 求得坐标为 ( 1 , 2 ). -*-  第三章 向量组的线性相关性 §3.5 欧氏空间 §3.3 向量组的秩 §3.2 一个n元向量组的线性相关性 §3.1 向量及其线性组合 §3.4 向量空间 -*- n 维向量空间是三维向量空间的直接推广, 但是只定义了线性运算, 而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容. §3.5 欧氏空间 我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中. 在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积) 建立标准的直角坐标系后, 可用向量的坐标来计算内积 设 则 -*- 内积 一、内积的定义及性质 定义 令 -*- 性质 著名的Cauchy-Schwarz不等式 即 这由 的判别式 易知. -*- 长度 范数 二、向量的长度及性质 定义 性质 (三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证) -*- 单位向量 夹角. 三、单位向量和 n 维向量间的夹角 正交 -*- 四、正交向量组 若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交: , 则称该向量组为正交向量组. 又如果这些向量都是单位向量: ,则称该向量组为规范正交向量组. 若该向量组是一个向量空间 V 的基, 又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基. -*- 例如: 是向量空间R3的一个规范正交基(通常称为自然基). 再如: 是下面向量空间V的一个规范正交基. -*- 性质 (P114 定理1) 证 设 是正交向量组 正交向量组必线性无关. -*- 五、施密特正交化过程 设 是向量空间V的一个基(坐标系),如何在向量空间 V 中建立(规范)正交基(坐标系)? 这个问题就是… 找与 等价的正交向量组 -*- 设 线性无关 令 则 两两正交, 且与 等价. 是与 等价的规范正交组 施密特正交化过程 -*- 例1 求 的一个规范正交基, 并求向量 解 易知