数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分.ppt

二、插值型的求导公式 三、利用数值积分求导 四、利用三次样条求导 五、利用外推方法求数值微分 本章小结 本章介绍了积分的数值计算方法，其基本原理主要是逼近论，即设法构造某个简单函数P(x)近似表示f(x)，然后对P(x)求积或求导得到f(x)的积分。基于插值原理，推导了数值积分的基本公式。 插值型求积公式介绍了牛顿─柯特斯公式和高斯公式两类。前者取等距节点，算法简单而容易编制程序。但是，由于在n≥8 时出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性。因此实用的只是低阶公式。解决长区间与低阶公式的矛盾是使用复化求积公式， 因此，常用的数值积分法都是复化求积公式。高斯公式不但具有最高代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证，因此是高精度的求积公式。高斯公式还可以通过选择恰当的权函数，用于计算奇异积分和广义积分，也可使一些复杂的积分计算简化。高斯公式的主要缺点是节点与系数无规律。所以高阶高斯公式不便于上机使用。实际应用中可以把低阶高斯公式进行复化。 龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对用梯形法所获得的近似值进行多级“加工”，从而获得高精度的积分近似值的一种方法。它具有自动选取步长且精度高，计算量小的特点，便于在计算机上使用。是数值积分中较好的方法，必须熟练地掌握。 建立在代数精度概念上的待定系数法也是数值积分中的一般方法，按待定系数法确定的数值积分公式没有误差估计式，只能从代数精度出发，估计其精确程度。 Thank you very much! 作业 习题 1(1) , 2(1), 6, 8(1), 10, 14, 18 * * This is a placeholder for the demo. It reminds you when to switch over to the demo and it tells the audience why you are going to show them what you are showing both before the demo and when you switch back to the slides. 由复化辛卜生公式(4.6)可得如下计算公式 （积分准确值I=0.9460831） 这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字(T8=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。 例4.14 用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过 解:取 ,则 ,又区间长度b-a=1，对 复化梯形公式有余项 即 ,n≥212.85，取n=213，即将区间 [0,1]分为213等份时，用复化梯形公式计算误差 不超过 。 问区间[0,1]应分多少等份 4.3.3 误差的事后估计与步长的自动选择 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某种精度为止。 变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。 设将积分区间[a,b]n等分，即分成n个子区间，一共有n+1个节点，即x=a+kh, k=0,1,…，n，步长 。对于某个子区间 ,利用梯形公式计算积分近似值有 对整个区间[a,b]有 将子区间 再二等份,取其中点 作新节点,此时区间数增加了一倍为2n,对某个子区间 ,利用复化梯形公式计算其积分近似值 。 对整个区间[a,b]有 比较 和 有 (4.7) (4.7)式称为变步长梯形公式 当把积分区间分成n等份，用复化梯形 公式计算积分I的近似值 时，截断误差为 若把区间再分半为2n等份，计算出定积分 的近似值 ，则截断误差为 当 在区间[a,b]上变化不大时,有 所以 可见,当步长二分后误差将减至 ,将 上式移项整理，可得验后误差估计式 上式说明，只要二等份前后两个积分值 和 相当接近，就可以保证计算结果 的误差很小，使 接近于积分值I。 4.3.4 变步长的梯形求积算法实现 （1）变步长的梯形求积法的计算步骤 ① 变步长梯形求积法