弹性力学习题(土木).ppt

例9 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 右侧面： 上端面： 为次要边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效： 对O点的力矩等效： x方向力等效： 注意： 必须按正向假设！ x y 上端面： （方法2） 取图示微元体， 可见，与前面结果相同。 注意： 必须按正向假设！ 由微元体的平衡求得， 例10 图示竖柱，试写出其边界条件。 左侧面： 右侧面： 上侧面： 次要边界，可用圣维南原理列写边界条件： y方向力等效； x方向力等效； 力矩等效。 例11 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） 解 （a） （b） （1） 将式（a）代入平衡方程： (2-2) —— 满足 （2）将式（a）代入相容方程： ∴　式（a）不是一组可能的应力场。 例11 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。 （1） （2） （a） （b） （2） 解 将式（b）代入应变表示的相容方程： 式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 。 (1) (2) (3) 解： (1) 将其代入相容方程，有 满足相容方程，φ1可作为应力函数。 (2) 将其代入相容方程，有 不满足相容方程，φ2不可作为应力函数。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x，y) 。 (1) (2) (3) 解： (3) 将其代入相容方程，有 当D = 0时，满足相容方程，φ3可作为应力函数； 当D≠0时，不满足相容方程，φ3不可作为应力函数。 （1） （2） 2. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h b。试确定其应力分量。 解： 1 确定应力函数 2 确定应力分量 3 由边界条件确定待定常数 代入得： 上端： —— 满足 左右侧： —— 满足 下端： （3） （4） —— 满足 例： 图示矩形板，长为 l ，高为 h ，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k为常数。 x y O l h 解： (1) 应力分量： 边界条件： 显然，上下边界无面力作用。 上下边界 (2) x y O l h 左边界 k 右边界 k kl 结论：可解决悬臂梁左端受集中力问题。 2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式，以下函数能作为应力函数φ(x，y) 。 解： 将应力函数代入相容方程，有 上述方程中，要使对任意的 x、y 成立，有 积分得 3. z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，且 h b。试确定其应力和位移分量。 解： 分析截面内力： 积分得： 代入相容方程，有： 要使对任意的 x、y 成立，有 积分，得： 1 确定应力函数 （1） 2 计算应力分量 （1） （2） 3 由边界条件确定常数 左右边界： （3） 上边界： （3） （4） （5） （6） （7） 代入式（1）和（4），有： （8） （9） 下边界： —— 满足。 4 求位移 由物理方程，得： 积分前2式，得： 代入式（10）中第3式，得： ω为常数。 对上式积分，得： 代入式（11），得： 常数ω、u0、v0由位移边界条件确定。 （10） （11） （12） 位移边界条件： 求得： 代入位移表达式，有： 常数ω、u0、v0由位移边界条件确定。 （12） 例： 试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。 上边界： 下边界： N 代入边界条件公式，有 右边界： 由圣维南原理，有 习题4-1 试导出位移分量的坐标变换式 S u v 习题4-2 设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q ，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。 解： 轴对称问题的径向位移公式（平面应变）： 对于圆筒轴对称问题，有 ur 不随? 变化，即 又由位移单值条件，有 常数A、B由应力边界条件确定。 应力分量： 边界条件： 习题4-3 设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁的应力。 解： 刚体 边界条件： 代入边界条件，有 将常数A、C 代入，有 将常数A、C 代入，有 刚体 习题4-4 矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。 45° 解： x y ? r x y ? r (a) 由图（a）