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2.辅助函数 的选取 由此看来，问题的关键是寻找一个具有性质（3－5）的函数 。实际上，对于任 意固定的t，满足（3－5）的 所表示的是，过 x－w 平面上 和 两点的曲线。这种曲线有很多条，最简单的是直线，令之为 于是，由（3－5）有 从而求得 故有 这样一来，定解问题（3－1）～（3－3）便化为关于 的定解问题。 （3－6） （3－7） （3－8） （3－9） 这正是上节我们介绍过的带有齐次边界条件的非齐次方程的定解问题，可用上节介绍过的本征函数法来求解。 例 研究右图所示的半带形区域内的电势 。已知边界 和 上的电势都是零， 而边界 上的电势为常数 解：其定解问题为 （3－10） （3－11） （3－12） 为使关于变量x的边界条件齐次化，令 由（3－6）式，得 于是 的定解问题是 （3－14） （3－15） （3－13） 用分离变量法求得满足（3－13）和（3－14）式的解为 其中 和 为待定常数，又因为当 时， 应是有限的（自然边界条件），即 （3－16） 故由边界（3－15）和（3－16）可定出 于是最后可得原定解问题（3－10）～（3－12）的解为 需要指出的是，由于w的选取有一定的任意性，故选取不同的w所得到的解u在形式上困难很不相同，但根据解的唯一性可知这些解实质上是一样的。 综上所述，在用分离变量法解偏微分方程时，为了使边界条件实现变量分离，应使非齐次边界条件齐次化。对于未知函数的 定解问题，具体做法是： （1）作变换 （2）适当选取 ，使关于 的边界条件齐次化，通常选 为x的一次式 但当两个边界条件均为第二类时，需选择 为x的二次式 ，其中 和 由 的边界条件定。 （3）解关于 的带有齐次边界条件的定解问题，从而在最后可求得 。 作业 P223，3、4. Thank you ！ 精品课件资料分享 SL出品 * * * * * 数学物理方法 周浩淼 副教授 2010年9月5号 中国计量学院、信息工程学院 Methods of Mathmatical Physics 第八章：分离变量法 第一节 齐次方程 考虑长为两端固定的弦的自由振动 分离变量 对于上面的定解问题，设其特解为 （1－4） 将（1-4）代入（1-1）中，得： （1－5） （1－6） 条件（1－6）的意义很清楚：不论在什么时刻t，和总是零，这只能是： （1－7） 再看方程（1－5），用 遍除两边得： 上式左边是t的函数，右边是x的函数，t和x是两个独立的变量，故只有两边都是常数时，此等式才能成立。令这常数为-λ，则 这可以分离为关于X的常微分方程和关于T的常微分方程，前者还附带有条件（1－7）， （1－8） （1－7） （1－9） 求解X，将 ， 和 三种可能性逐一加以考察。 （1） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 由此解出 ， ，从而 ，这是没有意义的，于是 的可能就排除了。 （2） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 由此解出 ， ，从而 ，于是的可能性也排除了。 （3） ，方程（1－8）的解是 积分常数 和 由条件（1－7）确定，即 如果 ，则仍然解出 ， 从而 ，同样没有意义，应被排除。 现只剩下一种可能性： ， ，于是，