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§2-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。 一.时域分析法 1.连续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。 3.一些序列的收敛域 (1).预备知识 阿贝尔定理: 如果级数 ，在 收敛,那么,满足0≤|z||z+|的z,级数必绝对收 敛。|z+|为最大收敛半径。 (4)因果序列 它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔 定理可知收敛域为： 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 [例2-3]求序列 变换及收敛域。 §2-3 Z反变换 一.定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n) 的变换称作Z反变换。 [例2-4] 已知 解: 1）当n≥-1时, 不会构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 因此 2）当n≤-2时，X(z)zn-1中的zn+1构成n+1阶极点。 因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1) 阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点: 通常，X(z)可表成有理分式形式： 因此，X(z)可以展成以下部分分式形式 其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点， Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck 分别为： 3.幂级数展开法(长除法) 因为 x(n) 的Z变换为Z-1 的幂级数，即 所以在给定的收敛域内，把X(z)展为幂级数，其系数就是序列x(n)。 如收敛域为|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成Z的负幂级数。 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成 Z的正幂级数。 [例2-6] 试用长除法求  的z反变换。 解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列) 5. 共轭序列 10.序列的卷积和(时域卷积定理) 11.序列相乘(Z域卷积定理) 12.帕塞瓦定理(parseval) 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略） §2-5 Z变换与拉氏变换、傅氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系 1.理想抽样信号的拉氏变换 设 为连续信号， 为其理想抽样信号， 则 2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系） S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由于 所以有： =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； σ Ω= 0，S平面的实轴， ω= 0，Z平面正实轴；Ω=Ω0(常数)，S:平行实轴的直线， ω= Ω0T,Z:始于 原点的射线；Ω S:宽 的水平条带， ω 整个z平面. 二.Z变换和傅氏变换的关系 连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=jΩ 的特例,因而映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,（抽样）序列在单位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率ω作为Z平面的单位圆的参数， ω表示Z平面的辐角，且 。 三.序列的傅氏变换 三.系统函数和差分方程的关系 四.系统的频率响应的意义 系统的单位抽样响应h(n)的傅氏变换也即单位上的变换 称作系统频率响应。 五.频率响应的几何确定 2.几点说明 (1). 表示原点处零极点，它到单位圆 的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量ω(N-M)。 (2).单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的 位置与深度有明显影响，当零点位于单 位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。 (3).单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位 置和高度有明显影响。极点在圆外，系统 不稳定。 零点在单位圆上0, 处；极点在 , 处 。 [例2-14] 设一阶系统的差分方程为: [解]: 对差分方程两边取Z变换: 六.IIR系统和FIR系统 1.无限长单位冲激响应(IIR)系统 如果一个离散