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* * * * 空间向量及其 加减与数乘运算 复习回顾:平面向量 1、定义: 既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 相等向量:长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、平面向量的加法、减法与数乘运算 向量加法的三角形法则 向量加法的平行四边形法则 向量减法的三角形法则 a - b a + b a (k0) k a (k0) k 向量的数乘 a a A B b C a A B b D C a A B b C a + b 3、平面向量的加法、减法与数乘运算律 加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律: 新课讲授 阅读教材P26 ,研究空间向量与平面向量的关系,回答 下面的问题: (1) 试说出:空间向量与平面向量有何共同之处? (2) 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量? (3) 空间任意两个向量是否都可以转化为平面 向量?为什么? (4)把平面向量的运算推广到空间向量, 怎么定义空间向量的加法,减法及数乘向量运算? (5)空间向量的运算律有哪些? (7) 什么是平行六面体? (6)从平面和空间两个角度验证向量加法结合律? 在空间,具有大小和方向的量叫做向量;用 有向线段表示;并且同向且等长的有向线段 表示同一向量或相等的向量;空间向量可以 平行移动;运算和运算律相同。 (1) 试说出:空间向量与平面向量有何共同 之处? (2) 如何理解空间的一个“平移”就是一个向量? 因为空间的一个“平移”有大小和方向,所以是 一个向量。 例如:“平行四边形ABCD自西向东平移4个单位长度”到达A1B1C1D1的位置。 D C A B C1 D1 B1 A1 这个“平移”就 是一个向量。 =“自西向东平移4个单位长度” (3) 空间任意两个向量是否都可以转化为 平面向量?为什么? 由O、A、B、三点确定一个平面 或共线可知, 已知空间两个任意向量 、 作 O A B 空间任意两个向量都 可用同 一平面内的有向线段表示。 O A C B (4)与平面向量运算一样,我们定义 空间 向量的加法、减法与数乘向量运算如下: 加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律: (5)同样,空间向量的加法与数乘向量运 算满 足如下运算律: a b c O B C a b + a b c O B C b c + (平面向量) (6)平面向量加法结合律: a b + c + ( ) a b + c + ( ) A A a b c O A B C a b + a b c O A B C b c + (6)空间向量加法结合律: (空间向量) a b + c + ( ) a b + c + ( ) A B C D A1 B1 C1 D1 a 平行四边形ABCD平移向量 到A1B1C1D1的轨迹形成 的几何体叫做平行六面体. a 记作ABCD—A1B1C1D1 它的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六 面体的棱。 (7)平行六面体 例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图) A B C D A1 B1 C1 D1 A B C D A1 B1 C1 D1 M (4)设M是线段CC1的中点,则 (3)设G是线段AC1的三等分点,则 G * *
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