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* 第四章 多减因表 * 学习目标 掌握多减因表的基本函数及其相互关系 了解减因力和中心减率的意义 了解联合单减因表与单减因表的关系 了解联合单减因函数的估计方法 * 背景 在保险精算分析中，常常要研究一批人受多个因素影响而陆续减少的规律。例如 养老金编制： 死亡、伤残、离职、退休等 寿险： 死亡、退保 * 定义 研究同批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型就是多减因模型。与生命表一样，多减因模型通常用多减因表的形式表示，称为多减因表。 * 第一节 多减因表基本函数 * 第一节 多减因表基本函数 ：确切年龄x 岁时，受(1),(2),??（m)等m 个减因影响的人数。或者说x 岁暴露于m 个减因下的人数。 ：x~x+n 岁由(k)减因减少的人数，k=1,2,??m，当n=1 时，记为 ：x~x+n 岁由所有减因减少的总人数，当n=1 时，记为 * 多减因表基本函数 ：x~x+n 岁由（k）减因产生的减少概率，也就是（k）减因使（x）离开 的概率，当n=1 时，记 ：x 岁的人在x~x+n 由所有减因导致的减少概率 ：x 岁的人在x~x+n 保留在原群体中的概率 基本函数（2） 相应的概率有： ， ， 等。 例1 某双减因表如下： x 65 0.02 0.05 0.07 0.93 66 0.03 0.06 0.09 0.91 67 0.04 0.07 0.11 0.89 68 0.05 0.08 0.13 0.87 69 0.06 0.09 0.15 0.85 70 0.00 1.00 1.00 0.00 例2.2 求以下三个概率： （1）65岁的被观察者两年以后仍在观察群体中的概率； （2）66岁的被观察者在68岁至69岁之间因减因1离开观察群体的概率； （3）67岁的被观察者在69岁以前因减因2离开观察群体的概率。 例2.2答案 * 第二节 减因力和中心减率 与生命表死亡力类似，在多减因下也有减因力，x＋t 时的总减因力定义为： * 第二节 减因力和中心减率 分减因力 * 第二节 减因力和中心减率 分减因力与总减因力 * 分减因力与分减因概率之间的差别 相互独立 相互依赖 * 中心减率 与中心死亡率的概念类似，在多减因分析中也有总中心减率和分减因中心减率，以 表示总中心减率，定义为， 第三节 联合单减因表 * 联合单减因表 单减因表 依各自独立的死亡力构成的生命表 联合单减因表 由多减因表的各减因构成的单减因表 * 相关函数 定义 ：k 减因绝对衰减率，是指在没有其他原因影响时，x岁的人由减因k 引起离开观察群体的概率； ：x岁的人在x+t 时刻前不由减因k 导致该人离开观察群体的概率。 * 基本关系（1） 最后不等式表明：某人离开群体的概率会因第 k 个减因之外的 其他减因而增大 * 基本关系（2） 不等式表明：由第 k个减因引起的某人离开群体的概率会因 其它减因“相互竞争”的作用而减小。 * 联合单减因表与多减因表 示例 在一定假设下，两者可以相互构造，关键问题是计算相应的概率。 年龄 联合单减因表 多减因表 …… …… 65 0.02 …… 0.04 0.019 …… 0.039 66 0.025 …… 0.06 0.024 …… 0.059 * 由多减因表构造联合单减因表 多减因模型中，在一定的假定下，由 计算 常用的假定： 常数减因力假定 均匀分布假定 * 常数减因力假定（1） 假定条件 等价推出 (k) (k) * 常数减因力假定（2） ‘(k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (k) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) (T) * 例2 假设减因1表示死亡，减因2表示退休。一多减因表如下： 设两减因的终止力在各年龄内均为常数，试根据此表构造相应的联合单减因表。 x 65