5平面向量的数量积.pptVIP

* §5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 . |a|·|b|cos θ a·b=|a||b|·cos θ 0 a·b=0 a·b=±|a||b| 基础知识 自主学习 2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 （1）e·a=a·e= ； （2）非零向量a，b，a⊥b ； （3）当a与b同向时，a·b= ； 当a与b反向时，a·b= , a·a= ，|a|= ; （4）cos θ= ； （5）|a·b| |a||b|. |b|cosθ |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| a2 ≤ 4.平面向量数量积满足的运算律 （1）a·b= （交换律）； （2）（ a）·b= = （ 为实数）； （3）（a+b）·c= . b·a a·b a· b a·c+b·c 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b= ，由此得到 （1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b . x1x2+y1y2 x2+y2 x1x2+y1y2=0 基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为θ，|a|cos θ=|a| C 2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于 （ ） A. B. C. D. 解析 B 3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78 解析 a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78). A 4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4. D 5.（2009·江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k= . 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b，b=(1,3), ∴(3-k)×1-3=0,∴k=0. 0 题型一 平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x∈[ ]. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围. 思维启迪 题型分类 深度剖析 解 ＞0 ∴|a+b|=2cos x. (2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . ∵x∈[ ] ，∴ ≤cos x≤1， ∴当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1. 探究提高 （1）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识. （2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角 为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|，