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第五章 习题课 一、证明所给矩阵为正交矩阵 例2 二、化线性无关向量组为规范正交向量组 三、特征值与特征向量的求法 四、已知A的特征值，求与A相关矩阵的特征值 五、用特征值计算方阵的行列式 六、利用A的特征值讨论A-kE的可逆性 七、判断方阵A可否对角化 例9 八、利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵 九、化二次型为标准形 十、正（负）定二次型（矩阵）的判定 十一、求方阵的多项式 本章主要知识点 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 方法1 方法2 验证A 的列向量组是规范正交向量组. 验证 ATA = E. 证明: 证明 是正交阵. 故是正交阵. 证明: 解: 正交化: 单位化: 第三步　将每一个特征值代入相应的线性方程组 ，求出基础解系，即得该特征值的特征向量． 第二步　求出特征多项式的全部根，即得全部 特征值； 第一步　计算特征多项式； 解： A的特征多项式为 A的特征值为 相应于 的特征向量满足 基础解系只含一个解向量，可取为 相应于 的全部特征向量为 相应于 的特征向量满足 基础解系含有两个解向量，可取为 的全部特征向量为 相应于 解： 相似矩阵具有相同的特征值 根据定义 解： 方法一 方法二 方法三 解： 证明： A的线性无关特征向量只有两个，故不能对角化. n阶方阵可对角化 有n个线性无关的特征向量 解　第一步　求A的特征值．由 解　(1)　 (3)相应于 的特征向量满足 无关的特征向量有两个，可取为 相应于 的特征向量满足 无关的特征向量有一个，可取为 解： 解：