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* 西安工程大学理学院 例子：试过四个型值点　　　　　　　　　　　　　　　　　作Ｂ样条曲线。 (4) 计算举例：三次B样条曲线 １.求二次Ｂ样条曲线 将已知点代入如下公式可得分段二次Ｂ样条曲线方程： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 所以有： 此为由点 决定的二次Ｂ样条曲线段． 此为由点 决定的二次Ｂ样条曲线段． 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 给t赋予不同值（　　　），就可以得到一批数据点，即可画出二次Ｂ样条曲线，如下图所示： 图　二次Ｂ样条曲线 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 ２.求三次Ｂ样条曲线 将已知点代入如下公式可得三次Ｂ样条曲线段方程： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 所以有： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 给t赋予不同值（　　　），就可以得到一批数据点，即可画出三次Ｂ样条曲线，如下图所示： 图　三次Ｂ样条曲线 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * * 西安工程大学理学院 节点矢量：分为三种类型：均匀的，均匀非周期的和非均匀的； 节点沿参数轴均匀等距分布，即 =常数时，＝》均匀B样条函数； 节点沿参数轴分布不等距，即 ≠常数时，＝》非均匀B样条函数。 1．均匀周期性B样条曲线 T=(-1,-0.5,0,0.5,1) T=(0,1,2,3,4,5,6,7) 均匀B样条的基函数呈周期性： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 例，均匀周期二次B样条曲线 计算n=3，k=2的均匀B样条曲线基函数，此时n+k+1=6，即节点从t0 到 t6 ，设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)： 即 ti = t ti+1 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 2．均匀非周期B样条曲线 节点矢量定义为： 令L = n – k (n为控制点数目)，从0开始，按ti≤ti+1排列。 均匀非周期二次（三阶）B样条曲线 设k=2，n=6，节点矢量为：T=(t0 ,t1,…,tn+k+1) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7,t8,t9) =(0,0,0,1,2,3,4,5,5,5)； 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 对于均匀周期B样条曲线 克拉可推导了上式等价为： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 重新来定义B样条曲线的数学表达式 B样条曲线是由若干B样条曲线段光滑连接而成的。首先定义B样条曲线段。假设给定n+1个型值点，用Pi （i=0,1,2,…,n）表示。把n次参数曲线段: 叫做n次B样条曲线段。 利用克拉可推导的Ni，k等价定义： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 与Bezier曲线类似，依次用线段连接Pi中相邻两个型值点所得的折线多边形称为B特征多边形。 称 为B样条曲线的基函数，它随着B样条曲线的次数不同而变化。 B样条曲线不同于Bezier曲线，它是一段段连接起来的，这一段段B样条曲线是自然连接的。下面我们分别讨论二次B样条曲线段和三次B样条曲线段。 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 1.二次B样条曲线段表达式 n为2的B样条曲线称作二次B样条曲线段,由下列式子 （2）二次B样条曲线段 得其基函数为： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 同理可推出： 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 将 代入 可得到二次B样条曲线段的表达式为： 矩阵形式 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 2.对二次B样条曲线段分析 这表明曲线段的两个端点就是 二次B样条曲线的特征多边形两 边的中点，如右图示： 图 二次B样条曲线段 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 * 西安工程大学理学院 对 t 求导可得到： 于是有 这表明二次B样条曲线段两端点的切向量就是特征多边形的两个边向量。如果继　　　　之后还有一些点