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§1 离散型随机变量 例 1（续） 我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1， 2，3． 因此， X 是一个变量． 但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值 带有随机性， 所以，我们称 X 为随机变量． X 的取值情况可由下表给出： 例 1（续） 例 1（续） 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空 间S上的函数： 随机变量的定义 设E是一个随机试验，S是其样本空间．我们称样本 空间上的函数 说 明 例 2 掷一颗骰子，令： X：出现的点数． 则 X 就是一个随机变量．它的取值为1，2，3，4，5，6． 例 3 一批产品有 50 件，其中有 8 件次品，42 件正 品．现从中取出 6 件，令： X：取出 6 件产品中的次品数． 则 X 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，2，…，6． 例 4 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数． 则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…． 例 5 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命． 则 Y 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实 数． 例 6 掷一枚硬币，令： 例 7 掷一枚骰子，在例2中，我们定义了随机变量X表示 出现的点数．我们还可以定义其它的随机变量，例 如我们可以定义： 1、离散型随机变量的概念与性质 说 明 离散型随机变量可完全由其分布律来刻划． 即离散型随机变量可完全由其的可能取值以及取这 些值的概率唯一确定． 例 1 从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令： X：取出的5个数字中的最大值． 试求 X 的分布律． 解： X 的取值为5，6，7，8，9，10． 并且 例 2 将 1 枚硬币掷 3 次，令： X：出现的正面次数与反面次数之差． 试求 X 的分布律． 解： X 的取值为-3，-1，1，3． 并且 例 3 设离散型随机变量 X 的分布律为 例 3（续） 例 4 设随机变量 X 的分布律为 二、一些常用的离散型随机变量 0--1分布也称作 0-1 分布或二点分布． 例 6 15 件产品中有4件次品，11件正品．从中取出1件 令 X：取出的一件产品中的次品数．则 X 的取值 为 0 或者 1，并且 2）二 项 分 布 如果随机变量 X 的分布律为 说 明 显然，当 n=1 时 二项分布的概率背景 进行n重0-1试验，设在每次试验中 分布律的验证 ⑴．由于 例7 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案， 其中只有一个答案是正确的．某学生靠猜测至少能 答对4道题的概率是多少？ 解：每答一道题相当于做一次0-1试验， 例 7（续） 所以 二项分布的分布形态 由此可知，二项分布的分布 可以证明： 例8 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命 中率均为0.44，试求300次射击最可能命中几次？其 相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令： 例8（续） 因此，最可能射击的命中次数为 3）Poisson 分布 如果随机变量 X 的分布律为 分布律的验证 ⑴ 由于 Poisson分布的应用 Poisson分布是概率论中重要的分布之一． 自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布． 例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的人数，等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的． 例 9 设随机变量 X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知 例 9（续） 得 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着 k 的增大而减少．这个使得 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 则由题意 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 其相应的概率为 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布． 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 可知对任意的自然数 k，有 第二章 随机变量及其分布 ⑵ 又由幂级数的展开式，可知 所以 是分布律． 返回主目录 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 解： 随机变量 X 的分布律为 由已知 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 由此得方程 得解 所以， 第二章 随机变量及其分布 返回主目录 * 第二章 随机变量及其分布 一．随机变量的概念 例