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信号与系统 Signals and Systems 连续时间信号与系统的S域分析 连续时间信号的复频域分析 连续时间系统的复频域分析 连续时间系统函数与系统特性 连续时间系统的模拟 连续时间信号的复频域分析 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 二、单边拉普拉斯变换及其存在的条件 三、常用信号的拉普拉斯变换 三、常用信号的拉普拉斯变换 三、常用信号的拉普拉斯变换 三、常用信号的拉普拉斯变换 三、常用信号的拉普拉斯变换 四、拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 五、单边拉普拉斯变换的性质 4. 卷积特性 5. 乘积特性 5. 乘积特性 乘积性质两种特殊情况： 1）指数加权性质 若 则 2）线性加权性质 6. 微分特性 证明： 6. 微分特性 重复应用微分性质，求得： 若 f(t) = 0, t0, 则有f r(0 -) = 0，r=0,1,2,... 7. 积分特性 若f -1(0-)， 则有 7. 积分特性 证明： 其中， 右边第一项 第二项按部分分式，得 8. 初值定理和终值定理 若f(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数 则 若sF(s)的收敛域包含jw轴 则 例4 试求如图所示周期信号的单边Laplace变换。 分析：周期为T的单边周期信号f(t)可以表示为第一个周期信号f1(t)及其时移f1(t-kT)的线性组合，即 若计算出f1(t)的Laplace变换F1(s)，利用Laplace变换的时移特性和线性特性，即可求得单边周期信号的Laplace变换为 Re(s) 0 f1(t) * * * * * * * 国家精品课程主教材、北京市精品教材 《信号与系统》(第2版) 陈后金，胡健，薛健 清华大学出版社，北京交通大学出版社，2005年 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换及其存在的条件 常用信号的拉普拉斯变换 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 单边拉普拉斯变换的性质 单边拉普拉斯变换的反变换 双边拉普拉斯变换* f (t) = eat u(t) a 0的傅里叶变换？ 将 f(t) 乘以衰减因子e -? t 不存在! 若? ?? 推广到一般情况 令s=? +j? 定义： 对 f(t)e-??t求傅里叶反变换可推出 拉普拉斯正变换 拉普拉斯反变换 拉普拉斯变换符号表示及物理含义 符号表示： 物理意义： 信号f(t)可分解成复指数est的线性组合 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。 s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。 关于积分下限的说明： 积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。 单边拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换存在的条件 对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足 (??0) 充要条件为： 单边拉普拉斯变换存在的条件 ??0称收敛条件 收 敛 区 j? ? ?0 ?0称绝对收敛坐标 S平面 右半平面 左半平面 例1 计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域。 分析：求收敛域即找出满足 的?取值范围。 收敛域为全s平面 不存在 1. 指数型函数 e? t u(t) 同理： 1. 指数型函数 e? t u(t) 正弦信号 2. 阶跃函数 u(t) 3. 4. t 的正幂函数 t n，n为正整数 根据以上推理,可得 1）当收敛域包含j? 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。 2）当收敛域不包含j? 轴时，拉普拉斯变换存在而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j? 轴时，拉普拉斯变换和傅里叶变换均存在。 例2 计算下列信号的拉普拉斯变换与傅里叶变换。 解： 时域信号 傅里叶变换 拉普拉斯变换 不存在 例3 由 F(s) 求 F( j? ) 解： 1) 收敛域??-4包含j?轴 2) 收敛域的收敛边界位于j?轴 1. 线性特性 若 则 2. 展缩特性 若 则 3. 时移特性 若 则 * * * *