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例5. 求 例6. 设 例7. 作业 备用题 1. 2. 设曲线C为曲面 * 第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十章 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “大化小” “常代变” “近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1) “大化小”. 2) “常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若 ?为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 证明: 下面先证 存在, 且有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应参数 设分点 根据定义 由于 对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿?移动到 解: (1) (2) ? 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中?为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 ?上的两类曲线积分的联系是 令 记 A 在 t 上的投影为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 ? 曲线段 L 的长度为s, 证明 续, 证: 设 说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分. 在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将积分 化为对弧长的积 分, 解： 其中L 沿上半圆周 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) L－ 表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须