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习题课 一、 微分中值定理及其应用 2. 微分中值定理的主要应用 3. 有关中值问题的解题方法 例1. 设函数 例2. 设 例3. 例4. 设实数 例5. 例6. 设函数 二、 导数应用 定理. 例7. 填空题 (2) 设函数 例8. 证明 例9. 设 例10. 求数列 例11. 证明 例12. 设 例13. 例14. 证明当 x 0 时, 法2. 列表判别. 例15. 求 解法2 利用泰勒公式 解法3 利用洛必达法则 作业 备用题 2. 设 3. 已知函数 4. 设函数 * 目录 上页 下页 返回 结束 二、 导数应用 一、 微分中值定理及其应用 中值定理及导数的应用 第三章 拉格朗日中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 泰勒中值定理 柯西中值定理 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 , (2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数 , (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用柯 西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , (5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 有时也可考虑对导数用中值定理 . 在 内可导, 且 证明 在 内有界. 证: 取点 再取异于 的点 对 为端点的区间上用拉氏中值定理, 得 (定数) 可见对任意 即得所证 . 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证: 问题转化为证 设辅助函数 显然 在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至 使 即有 少存在一点 且 试证存在 证: 欲证 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件, 故有 将①代入② , 化简得 故有 ① ② 即要证 满足下述等式 证明方程 在 ( 0 , 1) 内至少有一 个实根 . 证: 令 则可设 且 由罗尔定理知存在一点 使 即 设函数 f (x) 在[ 0, 3 ]上连续, 在( 0, 3 )内可导, 且 分析: 所给条件可写为 (2003考研) 试证必存在 想到找一点 c , 使 证: 因 f (x) 在[0, 3]上连续, 所以在[ 0, 2 ]上连续, 且在 [ 0, 2 ]上有最大值 M 与最小值 m, 故 由介值定理, 至少存在一点 由罗尔定理知, 必存在 在 上二阶可导, 且 证明 证: 由泰勒公式得 两式相减得 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页) 设函数 在 上具有n 阶导数, 且 则当 时 证: 令 则 利用 在 处的 n －1 阶泰勒公式得 因此 时 的连续性及导函数 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 的图形如图所示, 在 上单调增加. 证: 令 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 故当 x 0 时, 从而 在 上单调增. 得 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其他不变时, 如何设辅助函数? 的最大项 . 证: 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大值点 因此 在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 极大值 列表判别: 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 思考: 证