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例3. 例5. 计算 例8. 求椭圆柱面 例9. 内容小结 P184 题2. 设 备用题 1. 已知曲面壳 2. 设 ? 是四面体 * 第四节 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对面积的曲面积分 第五章 一、对面积的曲面积分的概念与性质 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 ? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面 ? 上连续, 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 ? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 证明: 由定义知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 而 (?光滑) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 也可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. (见本节后面的例4, 例5) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ? 例4. 求半径为R 的均匀半球壳 ? 的重心. 解: 设 ? 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 而 用球坐标 思考题: 例 3 是否可用球面坐标计算 ? 例3 目录 上页 下页 返回 结束 解: 取球面坐标系, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 计算 其中 ? 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为 半径为 利用重心公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 计算 其中 ? 是介于平面 之间的圆柱面 分析: 若将曲面分为前后(或左右) 则 解: 取曲面面积元素 两片, 则计算较繁. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 位于 xoy 面上方及平面 z = y 下方那部分柱面 ? 的侧面积 S . 解: 取 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km ) 解: 建立坐标系如图, 覆盖曲面 ? 的 半顶角为 ? , 利用球坐标系, 则 卫星覆盖面积为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为 由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 以上的面积, 故使用三颗相隔 角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球 全表面