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DifferentialCalculusofMultivariableFunctio

The Continuity of Multivariable Functions 小结 备用题: 4. 证明 * Chapter 7 Differential Calculus of Multivariable Functions 第七章 多元函数微分学 n维空间的记号为 n维空间中两点间距离公式 设两点为 特殊地当 时,便为数轴、平面、空间两点间的距离. §1 The Basic Concepts of Multivariable Functions The Definition of Functions of Two Variables: 类似地可定义三元及三元以上函数. 例1 求 的定义域. 解 所求定义域为 二元函数 的图形 (如右图) 二元函数的图形通常是一张曲面. 1. Neighborhood (2)Region 例如, 即为开集. 连通的开集称为区域(Region)或开区域. 例如, 例如, 有界闭区域; 无界开区域. 例如, (3)Accumulation Point 例 (0,0)既是边界点也是聚点. 例 边界上的点都是聚点. The Limit of Functions of Two Variables: 说明: (1)定义中 的方式是任意的; (2)二元函数的极限也叫二重极限 (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. (4)二重极限的几何意义: ?? 0,?P0 的去心? 邻域 o U(P0, ? )。 在 o U(P0, ? ) 内,函数 的图形总在平面 及 之间。 例2 证明 证 当 时, 原结论成立. 例3 求极限 解 例4 证明 不存在. 证 取 其值随k的不同而变化, 故极限不存在. The Limit of Functions of n-Variables: 定义3 例5 讨论函数 在(0,0)处的连续性. 解 取 故函数在(0,0)处连续. 例6 讨论函数 在(0,0)的连续性. 解 取 其值随k的不同而变化, 极限不存在. 故函数在(0,0)处不连续. 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上至少取得它的最大值和最小值各一次. 在有界闭区域D上的多元连续函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次. (1)最大值和最小值定理 (2)介值定理 一切多元初等函数在其定义域内的任一开区域或闭区域上是连续的. 例7 解 多元函数极限的概念 多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质 (注意趋近方式的任意性) 多元函数的定义 解答: 不能. 例 取 但由例4知 不存在. 思考题1: 若一元函数 f (x0 ,y) 在 y0 处连续, f (x ,y0) 在 x0 处连续,那末二元函数 f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处是否必连续? 思考题2: 解答: 未必连续. 如函数 在 x = 0 处连续, 在 y = 0 处连续. 但极限 不存在,从而f (x, y)在 点(0, 0)处不连续. 1. 设 求 解 令 即 2. 是否存在? 解: 所以极限不存在. 令 y = k x , 若令 , 则 , 则 3. 是否存在? 解: 所以极限不存在. , 则 , 则 在全平面连续. 证: 为初等函数 , 故连续. 又 故函数在全平面连续 . 由夹逼准则得 练 习 题

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