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第2章 离散傅里叶变换(DFT) 2.1 离散傅里叶变换(DFT) 2.2 快速傅里叶变换(FFT) 2.3 离散卷积 2.4 FFT应用 2.1 离散傅里叶变换(DFT) 2.1.1 DFT定义 2.1.2 DFT推导 2.1.3 DFT性质 2.1.4 DFT的矩阵计算 2.1.1 离散傅里叶变换的定义 1. 定义 设x(n)是一个长度为N的有限长序列， 则定义x(n)的N点离散傅里叶变换为 证明IDFT［X(k)］的唯一性。 证明：把(3.1.1)式代入(3.1.2)式有 例 3.1.1 x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT。 解：设变换区间N=8， 则 2.1.2 DFT推导 1. 由Z变换推导 由Z变换可知，非周期序列x(n)的Z变换为 对于有限长序列x(n)(n=0,…,N-1)，X(z)的收敛区域总包括单位圆。若在单位圆的N个均分点上计算Z变换，得周期序列为 上式两边乘以 ，再对k从0~N-1求和，得 这说明，长度小于或等于N的有限时宽序列可以用它的Z变换在单位圆上的N个取样精确地表示，或有限时宽序列的DFT相当于其Z变换在单位圆等间隔点上的取样。 2. 由离散傅里叶级数推导 如果x(n)的长度为N，且 ，则可写出 的离散傅里叶级数为 2.1.3 DFT性质 DFT有许多性质与连续、序列傅里叶变换相似，但也有其独特性，这主要源于它所隐含的周期性，即循环性。 1. 线性性 如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 0≤n≤N-1 式中a、b为常数，N=max[N1, N2]，则y(n)的N点DFT为 ? Y(k)=DFT[y(n)]=aX1(k)+bX2(k), 0≤k≤N-1 (3.2.1) ? 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。 该性质说明，DFT适用于离散线性系统。 2. 循环位移性质 若x(n) X(k)成立，则 x(n-n0) X(k) 称为时间位移性 (1) 或 x(n) X(k-k0) 称为频率位移性 (2) (1)说明时域信号的加载时刻，对信号DFT的幅度不产生任何影响，只在频域引入一线性相移。 (2)说明用特定频率的余弦（或正弦）对信号进行调制，其结果是信号的频谱发生了位移（以调制频率为中心）。 由于x(n)与X(k)的周期性，使DFT的位移呈现循环特性。 3. 对称性 若x(n) X(k)成立，则 x*(n) X*(-k)（复共轭序列的DFT ） 或 x*(-n) X*(k) 或 (1/N)X(n) x(-k) 说明DFT的时域与频域具有对偶关系。 证明： 根据DFT的唯一性 4. DFT的共轭对称性 如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)也可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和， 即 x(n)=xep(n)+xop(n), 0≤n≤N-1 (3.2.11) 将式中的n换成N-n，并取复共轭，得到 ? x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n) (3.2.12) xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ (3.2.13)