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第一章 第一节 一、 集合 表示法： 半开区间 2. 集合之间的关系及运算 定义 3 . 给定两个集合 A, B, 二、 映射 引例2. 定义4. 例1. 说明: 三、函数 例4. 已知函数 2. 函数的几种特性 (3) 奇偶性 又如, (4) 周期性 3. 反函数与复合函数 (2) 复合函数 4. 初等函数 非初等函数举例: 例5. 例6. 求 内容小结 备用题 * 目录 上页 下页 返回 结束 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 函数与极限 第一章 二、映射 三、函数 一、集合 映射与函数 元素 a 属于集合 M , 记作 元素 a 不属于集合 M , 记作 1. 定义及表示法 定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 简称集 简称元 (1) 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2) 描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p 与 q 互质 实数集合 x 为有理数或无理数 开区间 闭区间 无限区间 点的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 定义2 . 则称 A 若 且 则称 A 与 B 相等, 例如, 显然有下列关系 : , , ? 若 设有集合 记作 记作 必有 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 或 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号 某班学生的集合 某教室座位 的集合 按一定规则入座 引例1. 引例3. (点集) (点集) 向 y 轴投影 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 有唯一确定的 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ; Y 的子集 称为 f 的 值域 . 注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一. 对映射 若 , 则称 f 为满射; 若 有 则称 f 为单射; 若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射. 引例2, 3 引例2 引例2 海伦公式 例2. 如图所示, 对应阴影部分的面积 则在数集 自身之间定义了一种映射 (满射) 例3. 如图所示, 则有 (满射) (满射) X (数集 或点集 ) 在不同数学分支中有不同的惯用 X (≠ ? ) Y (数集) f 称为X 上的泛函 X (≠ ? ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的函数 映射又称为算子. 名称. 例如, 定义域 1. 函数的概念 定义5. 设数集 则称映射 为定义在 D 上的函数 , 记为 称为值域 函数图形: 自变量 因变量 (对应规则) (值域) (定义域) 例如, 反正弦主值 定义域 对应规律的表示方法: 解析法 、图像法 、列表法 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 定义域 值域 又如, 绝对值函数 定义域 值 域 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域. 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域； 解: 及 写出 f (x) 的定义域及值域, 并求 f (x) 的定义域 值域 设函数 且有区间 (1) 有界性 使 称 使 称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 . (2) 单调性 为有界函数. 在 I 上有界. 使 若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界. 称 为有上界 称 为有下界 当 称 为 I 上的 称 为 I 上的 单调增函数 ; 单调减函数 . (见 P11 ) 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 为奇函数时, 则当 必有 例如, 偶函数 双曲余弦 记 奇函数 双曲正弦 记 再如, 奇函数 双曲正切 记 说明: 给定 则 偶函数 奇函数 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期为 注: 周期函数不一定存在最