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一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 * * 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 第四节 函数的极值与最大值最小值 问： f(a)和 f(b)是极值吗？ 函数的极值 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点. 观察与思考： 观察极值与切线的关系. 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 如果对于任意x? 有f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 则称f(x0)是函数 f(x)的一个极大值(或极小值)? 设函数f(x)在点x0处可导且在x0处取得极值, 那么f ?(x0)?0. [费马引理] 驻点: 使导数f ?(x)为零的点(方程f ?(x)?0的实根)称为函数f(x)的驻点. 定理1(必要条件) 讨论： 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 考察x=0是否是函数y=x3 的驻点, 是否是函数的极 值点? x1 x2 x3 x4 x5 x0处可导, 且在x0处取 驻点：使导数f ?(x)为零的点(方程f ?(x)?0的 　　　实根)称为函数f(x)的驻点. 定理1: 观察与思考： (1)观察曲线的升降与极值之间的关系. (2)观察曲线的凹凸性与极值之间的关系. x1 x2 x3 x4 x5 设函数f(x)在点 得极值, 那么f ?(x0)?0. [费马引理] 定理2．(第一充分条件) x1 x2 x3 x4 x5 (2)如果在( ? x0)内f ?(x)0? 在( x0? )内f ?(x)0? 则f(x)在 设函数f(x)在x0处连续? 在 内可导? (1)如果在( ? x0)内f ?(x)?0? 在(x0? )内f ?(x)?0? 则f(x)在x0处取得极大值? (3)如果在( ? x0)及(x0? )内 f ?(x)的符号相同? 则f(x)在x0处没有极值? x0处取得极小值? 确定极值点和极值的步骤： (1)求出导数f ?(x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f ?(x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值. 例1． (1) f(x)在(??? ??)内连续? 解 ： (3)列表判断 x??1为f(x)的不可导点? 得驻点x?1? (2)令f ?(x)?0? (??? ?1) ?1 (?1? 1) 1 (1? ??) ? 不可导 ? 0 ? x f ?(x) f(x) ↗ 0 ↘ ↗ 除 x ? ?1 外处处可导; 定理3. (第二充分条件p155) 设函数f(x)在点x0处有二阶导数且f ?(x0)?0? f ??(x0)?0? 则： (1)当f ??(x0)?0时? f(x)在x0处取得极大值? (2)当f ??(x0)?0时? f(x)在x0处取得极小值. 注意： 如果f ?(x0)?0? f ??(x0)?0? 则定理3不能应用? 但不能由此说明f (x0)不是f (x)的极值。 讨论：函数f(x)?x4? g(x)?x3在点x?0是否有 　　　极值？ 例2. 求函数f(x)?(x2?1)3?1 　　的极值? 解: f ?(x)?6x(x2?1)2? 令f ?(x)?0? 求得驻点 x1??1? x2?0? x3?1? f ??(x)?6(x2?1)(5x2?1)? 因f ??(0)?6?0? 所以f (x)在x?0处取得极小值? 极小值为f(0)?0? 因f ??(?1)?f ??(1)?0? 所以用定理3无法判别? 因在?1左右邻域内f ?(x)?0? 所以f(x)在?1处 同理? f(x)在1处也没有极值? 没有极值. 怎样求函数的最大值和最小值? x1 x2 x3 x4 x5 M m 观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最大值或最小值点? 其最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中的最小者? 极值与最值的关系: x1 x2 x3 x4 x5 M m 闭区间上的连续函数其最大值和最小值只 可能在区间的端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间[a? b]上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者;