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第三节 一、曲面方程的概念 定义1. 例1. 求动点到定点 例2. 研究方程 二、旋转曲面 建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？ 例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 例4. 求坐标面 xOz 上的双曲线 四、二次曲面 1. 椭球面 2. 抛物面 3. 双曲面 (2) 双叶双曲面 4. 椭圆锥面 内容小结 2. 二次曲面 思考与练习 * 目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面 一、曲面方程的概念 二、旋转曲面 三、柱面 曲面及其方程 第八章 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 故所求方程为 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解: 设轨迹上动点为 即 依题意 距离为 R 的轨迹 表示上(下)球面 . 解: 配方得 可见此方程表示一个球面 说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. 表示怎样 半径为 球心为 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹. 定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴 . 例如 : 故旋转曲面方程为 当绕 z 轴旋转时, 若点 给定 yOz 面上曲线 C: 则有 则有 该点转到 的圆锥面方程. 解: 在yOz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为 两边平方 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解: 绕 x 轴旋转 绕 z 轴旋转 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 三、柱面 引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 解:在 xOy 面上， 表示圆C, 沿圆周C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆 故在空间 过此点作 柱面. 对任意 z , 平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面 在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程, 定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. ? 表示抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xOy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面. ? z 轴的平面. ? 表示母线平行于 (且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xOy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yOz 面上的曲线 l2. 母线 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形统称为二次曲面. (二次项系数不全为 0 ) (1)范围： (2)与坐标面的交线：椭圆 与 的交线为椭圆： (4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 同样 的截痕 及 也为椭圆. 当a＝b＝c 时为球面. (3) 截痕: 为正数) (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） ( p , q 同号) 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. (1)单叶双曲面 椭圆. 时, 截痕为 (实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴） 平面 上的截痕情况: 双曲线: 虚轴平行于x 轴） 时, 截痕为 时, 截痕为 (实轴平行于z 轴; 相交直线: 双曲线: 双曲线 椭圆 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 双曲线 单叶双曲面 双叶双曲面 P18 图形 椭圆 在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. ① (椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换 得到, 见 P28 ) 1. 空间曲面