Euler格式和RungeKutta格式.pptVIP

则初值问题(*)的连续可微解y(x)存在,且唯一. 第八章 常微分方程初值问题的数值解法 讨论常微分方程（ordinary differential equation）的定解问题，这类问题的最简单型是如下一阶方程的初值问题： 满足Lipschitz (李普希兹)条件，即存在正数L，使得对所有的 和任何 均有 定理 设函数f(x,y)在区域 上连续,且在区域D内关于y 由于数值解是找精确解 的近似值，因此，总假设方程的解 存在且唯一，并具有充分的光滑性！ (*) ?求常微分方程数值解的必要性 1、方程本身很复杂，不能给出解析解，或难以求出解析解； 2、即使可以获得解析解，计算量太大或者计算过程太复杂而不实用；例如：高阶常系数线性常微分方程. 3、在实际应用中，只需求得解在某些特殊点上的近似值。 数值解是指：在解的存在区间上取一系列离散节点 逐个给出精确解 的近似值 ?定义： 相邻两个节点的间距 称为步长. 如何求出？ ①考虑等距节点： ②从初始条件 出发，按照节点的排序，依次逐个计算 的 值，称为步进法. 一般有两种类型：单步法、多步法. 注： ?为了考察数值解是否具有使用价值，必须解决的基本问题： 解析解不能用初等函数及其积分表示！ ①当步长h取得充分小时，所得的近似解yn能否以足够的精度逼近初值 问题的精确解y(xn).这就是收敛问题。即当h 0时, yn y(xn) ? ②在数值求解的过程中，会产生若干类型的误差，具体分类如下： （1）局部截断误差 （2）局部舍入误差 （3）整体截断误差 （4）整体舍入误差 （5）总误差（=整体截断误差+整体舍入误差） 因此，必须估计精确解与近似解之间的误差。这就是误差估计问题。 ③由于初始值y0和右端项f(x,y)常常是通过测量得到的，所以必须考虑 它们的微小扰动，引起数值解的变化问题。即最初产生的误差在以 后各步的计算中是否会无限制扩大的问题，这就是稳定性问题。 在计算过程中无舍入误差，只有当问题的数值解对初始值具有某种连续 依赖性时，方法才实用！ 可证明：若不考虑初始值误差，整体截断误差的阶由局部截断误差的阶决定！ 本章着重讨论一阶ODE初值问题的数值解.对于高阶方程（组）的数值解，其基本思想是完全一样的. 计算一步所产生的误差。是算法中所固有的，与舍入误差无关 初值问题的解析解表示过点 的一条（光滑）曲线. ?解析解与其数值解的几何意义： 初值问题的数值解表示一组离散点列 （或一组数据点） 可用拟合方法求该组数据 的近似曲线 积分曲线 近似曲线 本章给出的几种方法 一、欧拉(Euler)方法及其改进形式 二、龙格-库塔(Runge-Kutta)方法 三、线性多步法-Adams（埃德姆斯）方法 ?得到数值解有两个基本途径： ⑴ 把近似解表示成有限个独立函数之和，例如：截断的幂（Taylor）级数或正交函数展开式中的前几项. 涉及到计算高阶导，尽管可用“数值微分”技术，但得到的公式太长、太复杂！通常比较适用于手算. ⑵ 离散化方法（也称为差分方法），它提供了用当前节点上的或前几个节点上的近似值来计算下一个节点上的近似值的规则.数值解所满足的离散方程统称为差分格式. 它是本章中要研究的一种方法. 微分方程 区域剖分 递推计算或解线性代数方程组 微分方程离散 初始和边界条件处理 数值求解微分方程过程示意 解的存在性、唯一性 解的收敛性和收敛速度 解的稳定性 得到数值解 离散系统的性态研究 现实问题 数学模型 离散格式 模型误差 舍入误差 观测误差 截断误差 数值解 求解过程中产生的误差 数学模型 离散化 计算 第2节 欧拉（Euler）方法 – 最简单的一种方法，精度差，不推荐使用！ ?欧拉格式的构造 解决问题的关键：如何处理方程中的导数项？ 在各节点 处,有 求 的近似值 方法：将上述初值问题化成节点离散方程，在节点上采用离散化方法（也叫做差分方法,通常用数值积分、微分、泰勒公式等），可逼近节点离散方程，由此产生可计算格式，并用计算解 作为解析解 的近似值. ⑴在节点离散方程中直接用向前差商代替微商，得到 节点离散方程 称为欧拉格式.当初值 已知时， 可递推求出 该切线与直线 的交点 的纵坐标 现在从 出发 作解曲线的切线， 切线方程为： 切线斜率为 ?欧拉方法的几何解释 再从