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高等数学 引例：计算 一、 格林公式 例1：利用格林公式计算 例2 计算： 例7 计算 例10：用两种方法计算 例10：用两种方法计算 例11. 计算 证明 (1) (2) 证明 (2) (3) 证明 (3) (4) 证明 (4) (1) 例3：计算 例4 设 C 为沿 例6： 验证 方法2 例6： 验证 方法4 2. 设 例9. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 内容小结 思考与练习 作业 解：因为 即不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 例2 其参数方程为 例2 解： 积分与路径无关 统一变量化成定积分 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 . 原式 = 到点 例5. 验证 是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 在整个 平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。 解： 在整个 平面上都成立 则所给出的微分式是全微分式。 利用公式： 取 为起点，动点为 方法1 例6： 验证 在整个 平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。 方法3 取 注：积分的起点不同，结果相差一个常数。应该选择 某些特殊的点方便计算。 平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。 例6： 验证 在整个 平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。 例7. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 或 提示: 例8. 设质点在力场 作用下沿曲线 L : 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意： 本题只在不含原点的单连通区域内积分与 路径无关 ! 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用, 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 统一变量化为定积分 加辅助线后用格林公式 将积分重新组合 * 主讲教师: 王升瑞 第二十讲 第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 第十一章 积分路径沿着圆周 的正向。 解法：应用格林公式 由于二重积分和平面的曲线 那么它们两者之间能否通过定积分而联系起来？ 本节介绍格林公式将指出， 二重积分可以化为沿区域 D 的边界曲线 L 正向的曲线 积分， 在平面闭区域 D 上的 这就沟通了曲线积分和二重积分之间的联系。 积分都是化为定积分来计算的， 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 证明：即要证 证明: 则 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 引例：计算 积分路径沿着圆周 的正向。 解法：应用格林公式 L由曲线 解：画出闭曲线及其所围成的区域D。 1. 简化曲线积分 简单应用 其中L 为折线 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2). 解： 所以由格林公式 例3 例4. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 则 利用格林公式 , 得 例5. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 解 例6 统一变量化成定积分 取顺时针方向。 其中L为上半圆周 解: 沿逆时针方向. 2. 计算平面面积 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆 所围面积 解 例8 例9. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 利用格林公式 , 有 3. 简化二重积分 L由曲线 解法