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* §4 Multistep Method ? 基于泰勒展开的构造法 ) ... ( ... 1 1 0 1 1 1 1 0 1 k i k i i i k i k i i i f f f f h y y y y - - + - - - + + + + + + + + + = b b b b a a a 将通式中的右端各项 yi?1, … , yi?k ; fi+1, fi?1, … , fi?k 分别在 xi 点作泰勒展开，与精确解 y(xi+1) 在 xi 点的泰勒展开作比较。通过令同类项系数相等，得到足以确定待定系数?0, … , ?k ; ??1, ?0, … , ?k 的等式，则可构造出线性多步法的公式。 例：设 ) ( 3 3 2 2 1 1 0 2 2 1 1 0 1 - - - - - + ? + ? + ? + ? + + + = i i i i i i i i y y y y h y y y y b b b b a a a 确定式中待定系数?0, ?1, ?2, ?0, ?1, ?2, ?3, 使得公式具有4阶精度。 §4 Multistep Method 解： /* y(xi) = yi */ 个未知数 个方程 7 5 §4 Multistep Method ? 令 ?1 = ?2 = 0 Adams 显式公式 ? 以 y?i+1 取代 y?i?1，并取 ?1 = ?2 = 0 Adams 隐式公式 ? 以 yi?3 取代 y?i?3 ，则可导出另一组4 阶显式算法，其中包含了著名的米尔尼 /* Milne */ 公式 其局部截断误差为 注：上式也可通过数值积分导出，即将 在区间 上积分，得到 再过 做 f 的插值多项式即可。 取 ?1 = 1, ?2 = 0 得到辛甫生 /* Simpson */ 公式 与Milne 公式匹配使用 ? 辛甫生 /* Simpson */ 公式 在区间[xi?1, xi+1]上积分，并用Simpson数值积分公式来近似积分项，亦可得此Simpson公式。 §4 Multistep Method ? Milne-Simpson 系统的缺点是稳定性差，为改善稳定性，考虑另一种隐式校正公式： 要求公式具有4 阶精度。通过泰勒展开，可得到 个等式，从中解出 个未知数，则有 个自由度。 5 6 1 取 ?1 = 1 得Simpson 公式 哈明 /* Hamming */ 用?1 的不同数值进行试验，发现当?1 = 0 时，公式的稳定性较好，即： 其局部截断误差为 注：哈明公式不能用数值积分方法推导出来。 §5 微分方程组与高阶方程 /* Systems of Differential Equations and Higher-Order Equations */ ? 一阶微分方程组 IVP的一般形式为： = ? = ? )) ( , ... ), ( , ( ) ( ... ... ... )) ( , ... ), ( , ( ) ( 1 1 1 1 x y x y x f x y x y x y x f x y m m m m 初值 0 0 0 2 0 2 0 1 0 1 ) ( , ... , ) ( , ) ( m m y x y y x y y x y = = = 将问题记作向量形式，令： 前述所有公式皆适用于向量形式。 ? 高阶微分方程 §5 Systems of DE’s and Higher-Order Equations = = ? = ? = - - - 1 0 ) 1 ( 1 0 0 0 ) 1 ( ) ( ) ( , ... , ) ( , ) ( ) , ... , , , ( n n n n a x y a x y a x y y y y x f y 化作一阶微分方程组求解。 引入新变量 初值条件为：