NA误差分析和解的精度改进.pptVIP

第四节 误差分析和解的精度改进 一、向量范数公理 * 数值分析 数值分析 * 一、向量与矩阵的范数 二、解的误差分析基本问题——解的稳定性 数值分析 数值分析 定义 数值分析 数值分析 二. 几种常用线性空间的范数 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 例：证明 注意： 1.等价性不等于互相代替，即在同一问题中不能混 用不同的范数。 2.在无限维空间中，向量范数的等价性不成立。 数值分析 数值分析 数值分析 数值分析 （2）算子范数 定义:设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非负函数 称为矩阵A的算子范数 注1:矩阵的算子范数由向量范数所导出, 如 注2:算子范数满足相容性 其中, A∈ Rn×n ,x∈ Rn 10/18 二、解的误差分析基本问题——解的稳定性 数学稳定性:对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即数学问题的解）有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。 数值方法的稳定性:一个算法如果输入数据有扰动（即有误差），而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。 引例. Hilbert矩阵的病态性 方程组 Ax=b1 的解为x1 A(x+δx)=b+δb 方程组 Ax = b 的解为 x x – x1=[ -2.4 27.0 -64.8 42.0 ]T 2/18 数据计算结果 证闭