NewtonCotes求积公式.pptVIP

第三章 数值积分与数值微分 §3.1 Newton-Cotes求积公式 总结 3.1.3 Newton-Cotes公式的误差分析 3.1.2 Newton-Cotes求积公式 3.1.1 插值型求积法 第 三 章 数 值 积 分 和 数 值 微 分 学习目标： 理解求积公式及代数精度概念，掌握确定求积公式的代数精度的方法，掌握 Newton-Cotes 求积公式、Romberg算法及Gauss求积公式的构造技术、特点及余项形式。掌握复化梯形求积公式、复化Simpson求积公式的构造技术及余项形式。了解上述求积公式的适用类型并会熟练使用这些公式做数值积分。了解数值微分法及 Richardson 加速技术，了解Newton-Cotes求积公式、Gauss 求积公式的稳定性问题。 一、数值求积的基本思想 积分 只要找到被积函数 f (x)原函数F(x)，便有 牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式 实际困难：大量的被积函数（ , sin x2 等）, 找不到用初等函数表示的原函数；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。 前言 例如，一块铝合金的横断面为正弦波，要求原材料铝合金板的长度。也就是f (x)=sinx 从x=0到x=b的曲线弧长L，可用积分表示为 这是一个椭圆积分计算问题。 卫星轨道的计算也一个椭圆积分计算问题。找不到被积函数的原函数。然而，用数值分析中的数值积分方法计算，并不是很难的计算问题。 　　本章讨论常用的数值求积公式及它们的误差估计和代数精度，而对数值微分只作简单介绍。 积分中值定理：在[a, b]内存在一点 ，有 f(?) 成立。 ? 就是说, 底为b-a 而高为f(?)的矩形面积恰等于所求曲边梯形的面积 . 问题 在于点?的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出 f(?)的值．我们将f (?)称为区间[a, b]上的平均高度．这样,只要对平均高度f(?)提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法． 如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f (?) 的近似值，这样导出的求积公式 : 便是我们所熟悉的梯形公式 . 而如果改用区间中点 的“高度”f (c)近似地取代平均高度f (?)，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)： (1.1) (1.2) 3.1 Newton-Cotes求积分式 3.1.1 插值型求积法 近似计算 思路 利用插值多项式 则积分易算。 关键是f(x) ? 在[a, b]上取 a ? x0 x1 … xn ? b，做 f 的 n 次插值多项式 ，即得到 Ak 由 决定， 与 无关。 节点 f (x) 插值型积分公式 （3.1.1) 称由(3.1.2)给出求积系数的公式(3.1.1)为插值型求积公式。 利用Lagrange插值多项式的余项可知插值型求积公式的余项为 其中求积系数 (3.1.2) 其中?与变量x有关。由此可知，对于次数小于或等于n的多项式 发f(x) ，其余项 。 　　解： 因要求所构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为 若 在[0，1]上存在，则该求积公式的余项为 故求积公式为 例3.1 给定求积节点 试推出计算积分 的插值型求积公式，并写出它的余项。 其中ξ属于（0，1）并依赖于x。 数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念． 定义3.1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次代数精度．