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2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 相轨迹的绘制 [例6]：绘制如下二阶系统的相平面图。 [解]：解析法。上面微分方程进行变量分离后，分别进行积分，得 这是以原点为中心的椭圆族的方程，相轨迹如图所示。 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 [例7] ：绘制如下二阶系统的相平面图。 [解]：等倾线法。 对稍微复杂的微分方程，解析法有困难，甚至使不可能。这时采用图解法绘制相平面图。等倾线是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。在等倾线基础上可以用折线近似代替相轨迹，从而完成相轨迹的绘制。 可见，在以x为横坐标，以x’为纵坐标的相平面上，等倾线是通过原点的直线族，等倾线的斜率等于 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 §9.5 奇点和极限环 二阶系统的状态方程如下 设原点是平衡点，即f(0,0)=0，则原点是奇点。又设f(x,x’)在原点附近是x和x’的解析函数，则可在原点附近展开成泰勒级数： 在原点附近的小范围内，略去高阶各项，代入状态方程得 如果上式的特征根具有负实部，则原点是渐进稳定的平衡状态；若特征根有正实部，则系统不稳定；若两个特征根的实部都为零，则不能根据该线性化方程推断结论，应结合系统的更高阶情况进行讨论。以下我们仅讨论二阶系统的六种情况。 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 奇点的类型（1） 1。ζ=0时，系统极点为一对纯虚根→中心点 其结果见[例6]，系统的相轨迹图为一族椭圆，于是知系统产生一种运动类型，即等幅持续振荡。尽管初始状态不同时，系统的相轨迹也不同，但运动的基本特性相同。这种奇点称为中心点。 2。 0ζ1时，一对具有负实部的共轭复根→稳定焦点 其结果见[例7]，系统的相轨迹为一族从外面向原点(即奇点）不断趋近的向心螺旋线。不论初态如何，系统的响应特性总是衰减振荡的，这种类型的奇点称为稳定的焦点 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 奇点的类型（2） 3。ζ1时，系统极点为两个负实根→稳定结点 系统的相轨迹为通过平衡点的一族抛物线。由图可见，系统的时间响应为非周期的。当初始状态不同时，出现两族相轨迹1和2。相轨迹族1对应的x(t)和x’(t)不变号，相轨迹族2对应的x’(t)必改变符号。这种类型的奇点称为稳定结点。 4。 -1ζ0时，一对具有正实部的共轭复根→不稳定焦点 系统的相轨迹为一族是背离原点(即奇点）不断发散的螺旋线。不论初态如何，系统的响应特性总是振荡发散的，这种类型的奇点称为不稳定焦点 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 奇点的类型（3） 5。ζ-1时，系统极点为两个正实根→不稳定结点 系统的相轨迹为通过平衡点的一族抛物线。由图可见，系统的时间响应为非周期发散的。当初始状态不同时，出现两族相轨迹1和2。相轨迹族1对应的x(t)和x’(t)不变号，相轨迹族2对应的x’(t)必改变符号。这种类型的奇点称为不稳定结点。 6。 出现一对异号实根→鞍点 系统的相轨迹为一族以原点(即奇点）为中心的双曲线。不论初态如何，系统的响应特性呈不稳定的非周期形式。这种类型的奇点称为鞍点 2004.12.18 tf72w@126.com 四川理工学院 P338# 9-2 作业 tf72w@126.com 四川理工学院 Sichuan University of Science and Engineering 自动控制原理 Sichuan University of Science and Engineering tf72w@126.com 四川理工学院 Sichuan University of Science and Engineering tf72w@126.com 四川理工学院 Sichuan University of Science and Engineering tf72w@126.com 四川理工学院 Sichuan University of Science and Engineering tf72w@126.com 四川理工学院 Sichuan University of Science and Engineering tf