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第二节 一元线性回归 一、一元线性回归的数学模型 二、未知参数 a，b ,σ2的点估计 三、线性相关假设检验 一、一元线性回归的数学模型 回归关系： 前一节介绍了两个变量间的相关关系，若这两个变量中一个是可控变量，另一个是随机变量，则称这两个变量之间的相关关系为回归关系。 回归函数： 当可控变量 X和随机变量Y之间存在回归关系时，Y的数学期望E(Y)是可控变量 X 的取值 x 的函数，记为μ(x)，即 E(Y)= μ(x)，称μ(x)为回归函数。 回归分析就是根据试验结果，研究可控变量与随机变量之间的相关关系，建立变量间关系的近似表达式，并由此对随机变量进行预测和控制。 一元线性回归的数学模型的两个前提： 1）线性相关假设： 2）随机变量Y服从正态分布，即： 这里σ2是与 x 无关的未知参数。 可控变量X的取值 x 无关的未知参数。 设随机变量 称其为随机误差. 则 设μ(x) = a + b x，这里a，b是与 一元线性回归的数学模型： 线性回归的任务： 其中a，b，σ2是与 x 无关的未知参数。x 是可控变量X的取值. 根据试验的观测值求出a，b，σ2的估计量： 从而对于任何 x ，得回归函数的估计量： （称其为随机变量Y 倚变量X的线性回归方程，其直线称为回归直线），从而为进一步的预测和控制提供依据。 二、未知参数 a，b 和σ2的点估计 1.未知参数 a，b 的最小二乘估计 根据偏差的平方和为最小来选择待估参数的方法称为最小二乘法，由此方法得到的估计量称为最小二乘估计. 最小二乘法： 即：就一元线性回归的数学模型： 对于样本观察值： 求使得二元函数 最小的a，b 的估计量 未知参数 a，b 的最小二乘估计 为此，令 即： 用克莱姆法则解此二元线性方程组，得 a，b 的最小二乘估计： 可以证明： 从而得回归方程： 1) 也是a，b 的极大似然估计. 2) 是 y1 , y2 , …, yn 的线性函数. 3) 是a，b的无偏估计，且是a，b的一切线性无偏估计量中方差最小的估计量. 回归直线的两个重要特征： 1）yi 偏离回归值 的总和为零，即 2）平面上n个点 落在回归直线上。即 的几何中心 由a，b 的最小二乘估计的推导过程可得： 称 为观察值 yi 的回归值(i=1,2, …,n )。 例1. 记录市场上某种商品的价格 x 与实际供给量 y 之间的一组数据如下： 76 76 52 56 57 77 58 55 67 53 72 64 y 9 12 6 10 9 10 7 8 12 6 11 8 x 试求该商品的供给量y 倚价格x 的回归方程。 解： 2.未知参数σ2 的估计 首先给出残差平方和（剩余平方和）和回归平方和的概念. 残差平方和： (剩余平方和) 回归平方和: 于是 即 所以 可以证明： 残差平方和 的计算方法 总成立 定理（平方和分解公式）：对容量为 n 的样本 即： 证明： 由 可得： 又 所以 由此可得： 即： 总偏差平方和=残差平方和+回归平方和 例2. 为研究一游泳池池水经化学处理后，水中氯气的残留量y（ppm）与经历的时间x（自处理结束时算起，以h 计）的关系，测得以下数据： 1.8 1.5 1.4 1.1 1.1 0.9 含氯量y 2 4 6 8 10 12 时间x （1）试求出 y 倚x 的回归方程； （2）估计方差σ2. 解： (2)未知参数σ2 的估计 三、线性相关假设检验 线性回归分析假定变量 x 和 y是线性相关的，即回归函数μ(x) 具有形式 a + b x。因此，在实际应用中，计算得到的回归方程是否具有实际意义，取决于线性相关假设是否符合实际。所以，应根据观察值，运用假设检验的方法，判断变量 x 和 y 之间是否确实存在线性相关关系，即检验系数 b 是否为零。若b=0，则μ(x) 不依赖于x，即变量 x 和 y 不线性相关，而线性相关关系成立时，b不应