一基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关.pptVIP

* 一、基本初等函数 二、复合函数 三、初等函数 四、建立函数关系举例 第五节 初等函数 一、基本初等函数 (一)常量y=C(C为常数) 常量函数的定义域为 ，无论x取何值，y都取值常数C. (二)幂函数 幂函数 的定义域随 的不同而不同.无论 取何值，它在 内都有定义，而且图形都经过(1,1)点. 当 正整数时, 的定义域为 为偶(奇)数时, 偶(奇)函数. 不论 为有理数还是无理数,只要 ,函数 在区间 都是严格单调增加的; ,函数 在区间 是严格单调减少. 指数函数 的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何的a(a0,a≠1) , 的值域都是 ，函数的图形都过(0,1)点. 对数函数 是指数函数 的反函数，它的定义域为 .当a1时，它严格单调增加；当0a1时，它严格单调减少.对于任何的a(a0,a≠1) ， 的值域都是 ，函数的图形都过(1,0)点. 在高等数学中，常用到以e为底的指数函数 和以e为底的对数函数 (记作ln x), ln x称为自然对数.这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数. (五)三角函数 常用的三角函数有： 正弦函数 y=sin x; 余弦函数 y=cos x; y=sin x与y=cos x 的定义域均为 ，它们都是以 为周期的函数，都是有界函数. 正切函数 y=tan x; 余切函数 y=cot x; tan x与cot x是以 为周期的周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x ,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数. 三角函数还包括正割函数y=sec x,余割函数y=csc x,其中 .它们都是以 为周期的周期函数，并且在开区间 内都是无界函数. (六)反三角函数 三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x的反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 二、复合函数 并称x为自变量，u为中间变量. 定义1.8 设y是u的函数，y=f(u)， ，而u是x的函数 ，并且 的值域 包含f(u)的定义 域U之中，即当 时 .则y通过u的联系成为x的函数，称此函数是由y=f(u) 及 复合而成的复合函数，记作 例1 将函数 分解成两个基本初等函数的复合,并求该函数的定义域. 解 令u=x2,函数 可分解为 的定义域为 u=x2的定义域为 值域 可知 的定义域为 例2 设函数 能否合成函数 若可以写出表达式并求出此复合函数的定义域. 函数 解 函数 的值域为 所以可以复合成 由 的定义域 有公共部分, 它与 的定义域 知 从而复合函数 的取值范围为 即 所以此复合函数的定义域为 例3 函数 是由哪些基本初等函数复合或经四则运算并复合而成的？ 解 此函数可分解为 将上述函数依次复合便得 三、初等函数 定义1.9 可以由基本初等函数经过有限次四则运算或(和)经过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示的函数,称为初等函数. 不是初等函数的函数叫作非初等函数. 下面这些函数不是初等函数 当x0 当x=0, (称为符号函数，记为sgnx); 当x0 当x0 当x≤0 初等函数都可以用一个