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* 一、复习回顾 ● l A ● l A 点A在直线l上 点A在直线l外 ● A A ● 点A在平面 内 点A在平面 外 直线l在平面 外 直线l在平面 内 l l l 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 3、平面的基本性质的三种语言描述： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. B A 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 符号语言： 符号语言： 符号语言： 1．点P在直线l上，而直线l在平面 内，用符号表示为（ ） A．　　　　 B． C．　　　 D． 2．下列推理，错误的是（ ） A． B． C． D． 3．下面是四个命题的叙述语（其中A，B表示点，a表示直线， 表示 平面） ① ② ③ ④ 其中叙述方法和推理过程都正确的命题的序号是_______________． D C ④ 二、建构数学 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： 推论1 ?经过一条直线和这条直线外一点,有且只有 一个平面. 已知：点A? a. 求证：过点A和直线a可以确定一个平面. 证明： 存在性. 因为A? a，在a上任取两点B，C. 所以过不共线的三点A，B，C有一个平面?.（公理3） 因为B∈?，C∈?， 所以a∈?.（公理1） 故经过点A和直线a有一个平面?. A B C a 唯一性. 如果经过点A和直线a的平面还有一个平面?， 那么A∈?，a ? ? 因为B∈a， C∈a，所以B∈?，C∈?β.（公理1） 故不共线的三点A，B，C既在平面?内又在平面?内. 所以平面?和平面?重合.（公理3） 所以经过点A和直线a有且只有一个平面 证明： 同理： 即直线AD、BD、CD共面． 直线 l 与点 D 可以确定一个平面 又 又 直线 AD、BD、CD 在同一个平面 内 【例1】已知： 求证：直线 AD、BD、CD 共面. 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面. 图形语言： 符号语言： 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面. 证明： 在a上取不同于点P的点A 即：过 a，b 有且只有一个平面． 已知：直线 a，b且 求证：过 a，b 有且只有一个平面 . 过直线 b和点 A只有一个平面 即： 过a，b只有一个平面 平面的基本性质 例2、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内 A B C 已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C 求证：直线AB，BC，AC共面. 证法一： 因为AB∩AB=A 所以直线AB，AC确定一个平面?.（推论2） 因为B∈AB，C∈AC，所以B∈?，C∈?， 故BC??.（公理1） 因此直线AB，BC，CA共面. 平面的基本性质 A B C 证法二： 因为A? 直线BC上， 所以过点A和直线BC确定平面?.（推论1） 因为A∈?， B∈BC，所以B∈?. 故AB ? ?，同理AC ? ?， 所以AB，AC，BC共面. 平面的基本性质 A B C 证法三： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面?.（公理3） 因为A∈?，B∈?，所以AB ? ?.（公理1） 同理BC ? ?，AC ? ?， 所以AB，BC，CA三直线共面. 要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。 推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面. 图形语言： 符号语言： 推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面. 证明： 由平行线的定义知 a，b在同一平面内 已知：直线 a，b且 求证：过 a，b 有且只有一个平面． 设点A为直线a上任一点 则点A在直线b外 点A和直线b在过a，b的平面 内 又由推论1，过点A和直线b的平面只有一个 过 a，b 有且只有一个平面． 【例3】已知空间四点A、B、C、D不在同一平 面内，求证：AB、CD既不平行也不相 交． 证明： 假设AB和CD平行或相交，则AB，CD可确定一个平面 与A、B、C、D不共面矛盾 AB和CD既不平行也不相交． 有二位同学证明如下，请判断正误： 问题 研讨 已知： 求证：a，b，c共面． 正方体中，试