一定义直线ab是异面直线经过空间任意一点O分别.pptVIP

一.定义:直线a、b是异面直线，经过空间 任意一点 O ,分别引直线a′∥a , b′∥ b。 我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做 异面直线a和b所成的角. 说明：1 ．a和b所成的角的大小与空间点的选取无关. 2 ．实质：把a和b平行移动使之相交,把抽象的空 间位置用平面内具体的角来体现. 3 ．范围:(0°，] 2.异面直线所成的角的求法: 例1：如图正方体AC1， ①求异面直线AB1和CC1所成角的大小 ②求异面直线AB1和A1D所成角的大小 解: ①∵ CC1//BB1 ∴ AB1和BB1所成的锐角是异面直线AB1和CC1所成的角 ∵ 在△ABB1中，AB1和BB1所成的角是450 ∴ 异面直线AB1和CC1所成的角是450 。 〖分析〗 1、做异面直线的平行线 2、说明哪个角就是所求角 3、把角放到平面图形中求解 D1 D1 C C1 B1 A1 A D D1 B ②∵在面A1B1CD中， ∵ A1B1 CD ∴ A1D//B1C ∴ AB1和B1C所成的锐角是异面直线AB1和A1D所成的角 ∵ 在△AB1C中，AB1和CC1所成的角是600 ∴异面直线AB1和A1D所成的角是600 。 ★求角的步骤： 做（利用定义画平行线，移到同一平面） 证（简单论证） 3. 求（解平面图形，通常将角置于一个三角形中，利用平面几何知识解决） 求异面直线所成角的步骤有哪些？ 正方体ABCD- A1B1C1D1中,P为 BB1的中点，如图，画出下面各题中指定的异面直线所成的角 A B C D D1 B1 A B C D B1 A B D B1 P D1 D1 C 例2、长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。 解法二： 方法归纳： 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。 在?A1C1E中， 由余弦定理得 ?A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E，C1E，则?A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)， F1 E F E1 B D B 1 A 1 D 1 C 1 A C BC1的方体B1F， 在空间四边形S-ABC中，SA⊥BC且 SA=BC, E, F分别为SC、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ） C S A B E F D (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 练习1 B S A B E F G 2. 在空间四边形ABCD中, AD=BC=2, E、F分别是 AB、CD的中点.且EF= ． 求:异面直线AD和BC所成的角. 且PE//BC, PF//AD 解:设P为AC中点,连结EP、FP. 则 ∴ PE与PF所成的锐角（其补角）就是异面直线BC与AD所成的角. 在△PEF中, PE=PF=1, EF= 即异面直线AD和BC成600角 ∴ A B C D E F G 定角一般方法有： （1）平移法（常用方法） （2）补形 小结： 1、求异面直线所成的角要认识到：空间的角可以用平面的 角来定义，体现了立体几何中的降维思想。 2、求角的方法：解平面图形（一般为三角形） 用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： （1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。 90o 思考： 已知正方体的棱长为 a , M 为 AB 的中点, N 为 BB1的中点，求 A1M 与 C1 N 所成角的余弦值。 解： 如图，取A1B1的中点E, 连BE, 有BE∥ A1M 取CC1的中点G,连BG. 有BG∥ C1N 则∠EBG即为所求角。 BG=BE= a, F C1 = a 由余弦定理， cos∠EBG=2/5 取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF 则∠FNC为所求角。 想一想： 还有其它定角的方法吗？ 在△EBG中 A1 D1 C1 B1 A B C D M N