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* * 一、排列 二、逆序 逆序数 三、奇排列 偶排列 四、对换 一、排列 定义 称为一个 级排列． 由1，2，…，n 组成的一个有序数组 123，132，213，231，312，321．　 如，所有的3级排列是 　——共6=3！个. (　阶乘) 注： 所有不同　级排列的总数是 二、逆序　逆序数 我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. 定义 一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数． 在一个排列中，如果一对数的前后位置 与标准次序相反，即前面的数大于后面的数， 则称这对数为一个逆序； ① 排列 123　　 称为标准排列，其逆序数为０． 注： ② 排列 的逆序数常记为 ③　　　　　　　后面比 小的数的个数 后面比 小的数的个数. 后面比 小的数的个数 或　　　　　　　前面比 大的数的个数 前面比 大的数的个数 前面比 大的数的个数． 方法一 方法二 例1．排列 31542 中，逆序有 31， 32， 54， 52， 42 的逆序数. 例2．求 级排列 解： 方法一 逆序数为奇数的排列称为奇排列； 逆序数为偶数的排列称为偶排列． 三 、奇排列、偶排列 定义 标准排列 123　　 为偶排列． 注： 练习：求下列排列的逆序数并讨论其奇偶性． （1） （2） 答案: （1） （2） 当 为偶数时为偶排列， 当 为奇数时为奇排列. 方法一 方法二 四 、对换 定义 把一个排列中某两个数的位置互换，而 其余的数不动，得到另一个排列，这一变换 称为一个对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 证明 1) 特殊情形：作相邻对换 对换 与 除 外，其它元素所成逆序不改变. 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理1 设排列为 当 时， 所成逆序不变; 经对换后 的逆序增加1个 , 经对换后 所成逆序不变 ， 的逆序减少1个. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 2)　一般情形