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一、无偏性 二、有效性 三、一致性 第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 随机变量，每次抽样后得到的θ的估计值不一定与 提出了无偏性的衡量标准。 由于未知参数θ的估计量 是 真值θ相吻合，其误差为 我们自然希望平均 误差为零，即 也就是说 这就 定义： 设 是未知参数? 的估计量，若 则称 是? 的无偏估计量. 总体X服从什么分布，样本的 k 阶矩 例1.设总体X的 k 阶矩 存在， 是总体X的 一个样本，试证明：不论 是总体 k 阶矩 的无偏估计. 证明： 由于X1，X2，…,Xn和总体X同分布，因而 所以样本的 k 阶矩 是总体 k 阶矩 的无偏估计 例2.设总体X的期望与方差存在,X 的样本为 (1) 不是 D( X )的无偏估量; (2) 是 D( X )的无偏估计量. 证明： 先证明 (n 1) . 证明 所以 因而 所以 不是 D( X )的无偏估计量; 所以 是 D( X )的无偏估计量. 例3.已知泊松总体 ，验证样本方差 是λ的无偏估计，并对于任一值α 也是λ的无偏估计. 由总体为 知： 证明： 由上例可知： 所以样本方差 是λ的无偏估计 又 则 所以 也是λ的无偏估计. 由上例我们可知，一个未知参数有时会有多个无偏估计，这就又产生了一个问题：哪一个无偏估计量更优呢？ 设 和 都是θ的无偏估计量，即两个估计量 小的那一个，这就有了有效性的衡量标准. 和 都围绕着θ波动，我们自然选择波动幅度 都是总体参数? 的无偏估计量, 且 则称 比 更有效. 设 二、有效性 定义 （2）试判断g1和g2哪一个更有效？ 例4.已知总体的数学期望 和方差 都存在， X1，X2，X3是总体的样本.设 （1）证明g1和g2都是 的无偏估计 解： (1) 所以，g1 和g2 都是 的无偏估计 (2) 因为 所以g1较g2更有效. (2)求常数 k1和 k2，使得它在所有形如 的无偏估计量中方差最小. (1)常数k1和k2为何值时， 也是θ的无偏估计量. 例5.设 和 是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，且 的方差为 的方差的两倍. 解： 由题意知： (1) 令 得 (2) 罗—克拉美（Rao – Cramer）不等式 若 是参数 ? 的无偏估计量, 则 其中 p ( x , ? ) 是 总体 X 的分布律或概率密度，称 计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量. 为方差的下界. 当 时, 称 为? 的达到方差下界的无偏估 例6.设（0-1）总体中参数 p为未知，证明 是参数 p 的无偏、有效估计量. 证明： 因为总体X是（0-1）分布，即： 而 所以 是参数 p 的无偏估计量 且 又 所以 是参数 p 的有效估计量 参数? 的估计量是样本的函数，与样本容量n 有关，我们当然希望，样本容量n 越大，估计量与参数? 的真值的偏差越小.这就有了一致性的衡量标准. 三、一致性 设 是总体参数? 的估计量. 则称 是总体参数? 的一致(或相合)估计量. 若对于任意的? ? ? , 当n? ?时, 依概率收敛于? , 定义 即对于任意正数ε，有