一高阶显式单步法的构造方法.pptVIP

* 一、高阶显式单步法的构造方法 §5.3 龙格-库塔（Runge-Kutta）法 显式单步法的一般形式： 构造高阶方法，即如何确定增量函数 使得该方法的局部截断误差的阶数尽量高。 为尽可能大的整数 Runge-Kutta方法 设 满足初值问题： 基本思想：利用 在某些点上的斜率的加权平均 作为平均斜率来构造高阶计算格式。 N级（阶）Runge-Kutta方法的一般形式： 其中 N =1：Euler方法 当N 1时，适当选取式中参数，使该方法的阶数尽量高 Runge-Kutta方法 ?二级方法：N =2 代入2（阶）Runge-Kutta方法的形式： 在点（xn,yn）处展开得： 比较两式，得 方程组有无穷多解：二级方法有无穷多种 常见的3种二级方法： ?中点法（修正的Euler法） 取 ?Runge-Kutta二级方法 取 ?Heun（休恩）二级方法 要求 项的系数尽量相同 ?四级方法：N =4 局部截断误差 常见的2种四阶方法： ?经典Runge-Kutta方法 ?Kutta四阶方法（见教材） 解： 例2：用经典的Runge-Kutta方法 求解下列初值问题 。 经典的四阶Runge-Kutta公式： 1.3416 0.4 1.1832 0.2 1.0954 0.1 1.2649 0.3 1.4142 0.5 1.6733 0.9 1.5492 0.7 1.4832 0.6 1.6125 0.8 1.7321 1.0 同保留5位的精确值完全一致： 1.3416 0.4 1.1832 0.2 1.0954 0.1 1.2649 0.3 1.4142 0.5 1.6733 0.9 1.5492 0.7 1.4832 0.6 1.6125 0.8 1.7321 1.0 二、变步长方法 基本思想：根据精度自动地选择步长 对于经典Runge-Kutta方法： Step1:设从 出发，以 为步长，经过一步计算得到 Step2:取 为步长，再从 出发，经过两步计算得到 记 如果 ，则将步长折半进行计算，直到 为止 此时取 为最终结果； 如果 ，则将步长加倍进行计算，直到 为止 此时将步长折半一次计算，得到的为最终结果。 一、收敛性 /*Convergence*/ §5.4 单步法的收敛性与稳定性 对于初值问题 的一种 单步法 产生的近似解，如果 则称该单步法是收敛的。 对于任一固定的 ，均有 类似地可以定义隐式单步法、多步法的收敛性 设初值问题（*）对应的下列单步法是 阶的， 且函数 满足对 的Lipschitz条件，即存在常数 则该单步法是收敛的，且 证明： 记 由截断误差的定义 因为单步法是 阶的： 满足 其中 二、绝对稳定性 /*Absolute Stibility*/ 计算过程中产生的舍入误差对计算结果的影响 首先以Euler公式为例，来讨论一下舍入误差的传播: 设实际计算得到的点 的近似函数值为 ， 其中 为精确值， 为误差 如果 ，则误差是不增的，故可认为是稳定的