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* 三垂线定理 荆州师范学院 13992班 潘万亮 a A P o α 复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？ a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 PO 平面PAO a⊥PO ③ 学生答：a⊥PO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 为什么呢？ PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 三垂线定理 P a A o α 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 对三垂线定理的说明： 三垂线定理 例题分析： 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，则a⊥b。 ( ) 2°定理的关键找“平面”这个参照系。 强调：1°四线是相对同一个平面而言。 (2)若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，则a⊥b。 ( ) × × 三垂线定理 关于三垂线定的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序：一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 三垂线定理 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。 例2、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角 器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？ 解：在道边取一点C， 使BC与道边所成水平角等于90°， 再在道边取一点D， 使水平角CDB等于45°， 测得C、D的距离等于20cm B A C 90° D 45° 三垂线定理 B A C 90° D 45° ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm ∴BC=20m， 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2，AC= 152+202 =25(cm) 答：电塔顶与道路的距离是25m。 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 三垂线定理 AH为PA在平面ABC内的射影 ∴BC⊥AH 在Rt△PBC中，PE= ------ = ---- 在Rt△APE中，AE= PA2+PE2= 9+ --- = ---- 4×6 42+62 12 13 144 13 2 29 2 29 13 例3、设PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=3，PB=4， PC=6，求点P到平面ABC的距离。 A P C B E H 解: 作PH⊥平面ABC， 连AH交BC于E，连PE ∵PA、PB、PC两两垂直 ∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC 三垂线定理 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也 和这条斜线垂直。 小 结 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证” 1°定理中四条线均针对同一平面而言 2°应用定理关键是找“基准面”这个参照系 三垂线定理 *