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例8 设 f (x) = x 3 － x. 讨论函数 f 的单调区间. 解 由于 因此 即 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 复习思考题 的证明相比较. 罗尔定理证明的主要方法是什么? 试与达布定理 * §6.1 中值定理 一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别 质来得到 f 在该区间上的整体性质. 中值定理, 就可以根据 在区间上的性 中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了 第六章 微积分学基 本 定 理 及 其 应 用 定理6.1(罗尔中值定理) 一、罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点?, 使 (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b). (1) 几何意义 据右图, 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 的.由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 f (a) = f (b), (2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. (iii), 但条件 (i) 不满足,该函 满足条件 (i) 和 (iii), 但条件 条件 (i) 和 (ii),但条件 (iii) 满足 处不可导), 结论也不成立. (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏,该函数在 (0, 1) -1 O 1 2 1 2 3 4 条件都不满足, 却仍有 f ?(0)=0. 这说明罗尔定 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件. 定理的证明 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续,所以由连续函数的最大、 情形1 M = m.此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 f ?(?) = 0 . 小值 m .下面分两种情形加以讨论. 最小值定理,f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 等于零,此时可在 (a, b) 内随意取一点 ? , 就有 情形2 m M. 既然最大、最小值不等,从而最大 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以 使得 大值不在端点取到,故存在 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最 由费马定理,得 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实 证 重数为 1 . 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的 矛盾. 设函数 f (x) 满足： 定理6.2 (拉格朗日中值定理) (i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得 几何意义 如右图， 用平行推移的方法,曲线上至少在一点 可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例. 连线的斜率为 y = f (x) 的两个端点 A, B 处的切线与 AB 平行, 其斜率 也等于 曲线 定理的证明 设 可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件, 所以 使 即 推论1 设 在区间 I上的导函数 , 则 是一个常值函数. 证 对于区间 I上的任何两点 与 , , 在[x1, x2]上满足拉格朗日定理的条件, 则有 这就是说, 在区间I上的任何两个值都相等, 所 以为常值函数. 证 分别按左右极限来证明. 对上式两边求极限，便得 例2 设 f(x)在区间 I 上可微, 且　　　　　, 则函数 f(x)在区间I上一致连续. 证 对于任意正数 ? , 取 　, 对任意的 只要 , 便有 故 在I上一致连续. 例3 求证: 证 设 　　　　　　　显然　　 在区间 　上 满足拉格朗日定理的条件，故有 注 例3中的不等号可以成为严格的. 事实上, 当 式成立. 当 　时， 和 时, 　 显然不为零, 严格不等 例4 设 在区间　　　上可微, 且 求证: 证 任取　　　, 由中值定理, 从而 因为 , 所以 1. 一般来说,中值点 ,仅指