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浅析限制排中律适用范围的命题演算 　　在经典命题演算中，不矛盾律和排中律都普遍有效。直觉主义断然否定排中律的普遍有效性，在直觉主义命题演算中，不矛盾律普遍有效，排中律无效。直觉主义的创始人布劳维(L.E.J.Brouwer)认为：“排中律是从有限事物中概括出来的，任何一个涉及有限事物全体的命题，总是可以通过对这些事物逐一地加以验证，来判明该命题的真伪，这时排中律是有效的。但是如果忘记了排中律的有限来源，把排中律视为先于和高于数学的某种普遍适用的法则，并将它运用于无限的场合，就会犯错误。这是因为对于无限的事物，往往不可能(哪怕是原则上)对它们一一加以鉴别。”[1] 49 然而，经典命题演算认排中律为普遍有效式，这固然与直观相违;直觉主义命题演算认排中律为无效式，亦与直观不尽相符。从直观上看，正如布劳维所认为的那样，排中律对且只对有限事物有效;但无论是经典命题演算，还是直觉主义命题演算，都没有框定排中律的适用范围。鉴于此，本文拟对经典命题演算做适当改动，构造一个限制排中律适用范围的命题演算系统PC5。 　　命题演算系统PC5 及其可靠性、完全性 　　(一)PC5的语法和语义 　　初始符号：甲、p1，p2，p3，…，pm，…，m 为自然数;乙、┌ ，┐，or;;丙、(，)。 　　在陈述形成规则以前，我们先引进一些语法语言的符号并作如下说明： 　　(1)Q、R、S 代表任一甲类符号。 　　(2)X、Y、Z 代表任一符号序列。 　　(3)A、B、C、D、E 代表任一合式公式。 　　(4)语法符号“┠”写在任一公式之前，它表示紧接在后面的公式是本系统所要肯定的。 　　形成规则： 　　(1)若X 是甲类符号，则┌X、┐X 是合式公式。 　　(2)若X 是合式公式，则┌X、┐X 是合式公式。 　　(3)若X 和Y 都是合式公式，则(Xor;Y)是合式公式。 　　(4)只有适合以上三条的符号序列是合式公式。 　　定义： 　　(甲)(Ararr;B)定义为(┐Aor;B)。 　　(乙)(Aand;B)定义为┐(┐Aor;┐B)。 　　(丙)(Aequiv;B)定义为((Ararr;B)and;(Brarr;A))。 　　括号省略规则： 　　(甲)最外面的一对括号可以省略。 　　(乙)真值联结词的结合力依下列次序而递增：equiv;，rarr;，and;，or;，┌，┐。 　　公理： 　　公理1：┠Aor;Ararr;A; 　　公理2：┠Ararr;Aor;B; 　　公理3：┠Aor;Brarr;Bor;A; 　　公理4：┠(Brarr;C)rarr;(Aor;Brarr;Aor;C); 　　公理5：┠┌Aequiv;A; 　　公理6：┠ ┐(┌Qand;┐Q)。 　　变形规则： 　　(1)分离规则，从┠A 和┠ ┐Aor;B 可得┠B。 　　(2)定义置换规则，定义的左右两方可相互替换。设原公式为A，替换后所得公式为B，则从┠A 可 　　得┠B。 　　公式的级的递归定义： 　　(1)若X 是甲类符号，则┌ X 和┐X 均为原子公式，原子公式是1 级公式。 　　(2)若X 是m 级公式，则┌ X 和┐X 均为m+1 级公式。 　　(3)若X 是m 级公式，Y 是n 级公式，且mge;n，则Xor;Y、Yor;X、Xand;Y、Yand;X、Xrarr;Y、Yrarr;X、Xequiv;Y、 　　Yequiv;X 均为m 级公式。 　　对引入0 级命题变项和肯定词符号的一点说明 　　如前文所述，0 级命题变项代表任意的0 级命题。0 级命题就是不包含肯定词或否定词的命题。这里有一点需要说明，逻辑学界有一种普遍流行的观点，这种观点认为任何命题都肯定了自身。按照这种观点，人们必须承认：第一，任何命题都隐含着肯定词;第二，一个命题与肯定该命题而形成的命题是等值的。这样一来，也就不存在0 级命题了。 　　笔者认为，上述普遍流行的观点颇值得商榷。首先，没有任何理由可以证明任何命题都肯定了自身。 　　其次，有些命题很难说肯定了自身。例如，命题甲“圆周率pi; 的小数表达式3.1415926…中有七个连续出现的5”就很难说肯kcoU定了自身。pi; 是一个无理数，即无限的不循环的小数。到目前为止，我们还没有发现(或证明)pi; 的小数展开式中有七个连续出现的5，因而不能肯定命题甲;我们也无法论证pi; 一定没有这样一个特性，因而也不能否