传热学杨世铭陶文铨第四章热传导问题数值解法.pptVIP

第四章　导热问题的数值解法 上海交通大学 第四章　导热问题的数值解法 §4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内部节点离散方程的建立 1 物 理 问 题 的 数 值 求 解 过 程 (1) 泰勒级数展开法 根据泰勒级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m+1,n)而温度tm+1,n 用节点(m,n)的温度tm,n 来表示节点(m-1,n)的 温度tm-1,n 若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分： 同样可得：  对于二维稳态导热问题，在直角坐标中，其导热 微分方程为： 其节点方程为： 判断迭代能否收敛的判据： 对于常物性导热问题所组成的差分方程组，迭代公式的选择应使每一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值之和，此时用迭代法求解代数方程一定收敛——对角占优。 对角占优判断迭代收敛的判据 作业： 在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值） 例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度： 判断迭代是否收敛的准则： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 图中给出了二维、稳态、常物性条件下导热问题的部分离散网格，?x = ?y，环境温度tf ，对流换热系数h，导热系数λ，均匀分布的内热源为 。参考图中给定符号，推导节点（m，n）的离散方程。 (m,n) (m-1,n) (m+1,n) tf h ?x ?y (m,n+1) (m,n-1) In-Class Problems §4-3 非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非稳态项 非稳态项 热源项 ？ 能量平衡特点：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，单元本身的热力学能也随时间发生变化 下面我们直接用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题为例给出非稳态项的处理方法 扩散项 一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题 离散方程的建立过程——空间和时间的离散化 时间步长：从一个时层到下一个时层的间隔 称为时间步长 ? x ? m-1, m, m+1 M i+1 ? 0 i i-1 (m+1,i) (m-1,i) (m,i) (m,i+1) (m,i-1) ? x m-1, m, m+1 M 0 m+1 m m-1 ? 表示形式 一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题离散方程的建立过程 Taylor 展开法 以(m,i)点为例，首先考察非稳态项： 向前差分 向后差分 中心差分 ? ?i ?i+1 ?i-1 热平衡法 1 假设温度分布线型 温度的阶梯型分布如右图所示，即温度的分布是跳跃的，并不是连续的。 t ? 阶梯分布 首先考察左下角的分布形式，则非稳态项 扩散项： t ? 阶梯分布 显示格式 x ? i+1 i m m+1 m-1 源项： 非稳态项： 扩散项： 守恒方程： 离散方程： 以网格尺寸 为特征尺度的Fourier 数 显式格式 t ? 阶梯分布 显示格式 非稳态项： 扩散项： 源项： 守恒方程： 离散方程： x ? i+1 i m m+1 m-1 t 阶梯分布 隐式格式 显式 隐式 非稳态导热差分方程的稳定性条件： (1) 主对角占优; (2) 的系数必须大于或等于零. 两种差分格式的特点： 方程数较少时，显式差分格式计算速度快，但对时间步长和空间步长有限制，如果 和 取得不好，很有可能导致计算结果发散，这是由于 隐式差分格式则没有这类稳定性的问题 用热平衡法建立边界节点的离散方程 边界节点也有显式格式和隐式格式，下面只针对显式格式，考察一无限大平板，其右侧面为第三类边界条件，针对边界节点，建立其离散方程 稳定性条件： 内节点的稳定性条件： 所以，边界节点的稳定性条件比内节点的要苛刻 对于绝热边界条件,可令边界上的对流换热量为零 即令 于是，上面方程变为： 4-10，4-15 说明： 4-15：只列出1，2，4三个节点的离散方程即可，无需化简，也不用求解 （1）推导节点3的隐式格式的离散方程 （2）右侧绝热时，推导节点4的离散方程 In-Class Problems 如下图所示，内热源为常数， O x D x D 2 3 4 1 X 思考题： 1.节点的概念. 2.向前差分, 先后差分, 中心差分的概念. 3.利用能量守恒定律和傅立叶定律, 推导内点和边界. 点离散方程的基本方法. 4.两个导热系数不同的物体紧紧贴在一起, 不计接触 热阻, 如