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例1 要在这六个居民点之间设置通信线路网，以保证居民点的联络。每条边代表两居民点的道路，数字代表路长。问如何建立该通信网，使联网代价最小。 5 1 3 4 2 v6 v5 v4 v3 v2 v1 · · · · · · v6 v4 v5 v3 v2 v1 2 4 3 1 5 5 6 5 6 6 · · · · · · 基本概念和名词 图：由若干个不同的点（顶点或节点）与其中某些顶点的连线所组成的图形 权：图中的每条边都有一个具体的数与之对应，这些数为权，带权的图为赋权图或网络。 边与弧：两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。 无向图：一个图G是由顶点和边构成的。 有向图：一个图G是由顶点和弧构成的。 V和E分别是图的顶点的集合和边的集合，V={v1,v2,…,vn}，E={e1,e2,…,em} 链：在无向图中，点与边的交错序列（vi1, ei1,vi2,…,vik-1,eik-1,vik）称为连结vi1和vik的链。(eit为连结vit和vit+1的边) 路径:（vi1,ai1,vi2,…,vik-1,aik-1,vik）是有向图中一条链（ait为从vit指向vit+1的弧），称之为从vi1到vik的路径。 弧的集合，A={a1,a2,…,am} 回路：闭合的路径称为回路。 圈：闭合的链称为圈。 连通图：图G中任何两个点之间至少有一条链，称G为连通图。 树：一个无圈的连通图称为树 生成树：若G1=(V1,E1)是连通图G2=(V2,E2)的生成子图(即V1=V2，E1?E2)，且G1本身是树，则称G1为G2的生成树。 邻接矩阵：bij表示图G中从顶点vi到vj的弧（无向图只考虑vi与vj间的边）的数目,则矩阵B = (bij)称为图G的邻接矩阵。 带权邻接矩阵：以wij表示网络G中从顶点vi到vj的弧的权(无向网只考虑vi与vj间的边的权),当vi到vj无弧或边时 ,wij=∞,则矩阵W = (wij)称为图G的带权邻接矩阵。 算法步骤如下： 1)把赋权图G中的边按权的非减次序排列。 最小生成树：在赋权图G中，求一棵生成树使其总权最小，称此为图G的最小生成树。Kruskal算法思想及步骤：每次添加权尽量小的边，使新的图无圈，直到生成一棵树为止，便得最小生成树。 最小生成树与Kruskal算法思想 2)按1)排列的次序检查G中的每一条边,如果这条边与已得到的边不产生圈，则取这一条边为解的一部分。 3)若已取到n-1条边,算法终止。此时以V为顶点集,以取到的n-1条边为边集的图即为最小生成树。? ● ● v5 v2 ● ● ● ● v3 v1 v4 v6 1 2 4 5 6 5 5 6 6 3 1 2 4 5 3 最短路径与Dijkstra算法 最短路径问题：在赋权有向图G中，求一条总权最小的vi至vj的路径的问题。 算法思想：若v1,v2,...,vi,...,vj,...,vn是图G从v1到vn的最短路径，则它的子路vi,...,vj一定是从vi到vj的最短路径。 算法步骤： 1)假设网络G有n个顶点,用带权的邻接矩阵W来表示,W(i,j)表示从顶点vi到vj的弧或边上的权值,不存在弧或边的权值用∞表示。 S为已求出的从始点vi出发的最短路径的终点集合,初始状态为空集。则从vi出发到图上其余各顶点vk可能达到的最短路径长度的初值为:D(k)=min{W(i,k)|vk∈V-{i}}； 2)选择vj，使得：D(j)=min{D(k)|vk∈V-S}，vj就是当前求得的一条从始点vi出发的最短路径的终点。令S = S∪{j}； 3)修改从vi出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。若D(j)+W(j,k)D(k)，则修改D(k)为：D(k)=D(j)+W(j,k)； 4)重复操作2)、3)共n-1次，并记录各最短路径经过的所有顶点。由此得到从始点vi到图上其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。 v6 v1 v2 v3 v4 v5 5 10 50 10 30 20 60 100 40