信号与系统讨论课讲稿ssnd.pptVIP

如果用正交函数集{gi(t)} (i=1,2,…,n)在区间(t1, t2)近似表示f(t) 方均误差 若 ，此函数集称为完备(complete)正交函数集. 称为广义傅立叶级数展开 一．完备正交函数集 (generalized Fourier series） 在正交集{gi(t)}(i=1,2,…,n)之外，不存在函数x(t) 满足 i为任意正整数。 则称{gi(t)}为完备的正交函数集。 完备的正交函数集的另一种定义 二．帕塞瓦尔定理(Parseval’s theorem) 物理意义： 一个信号所含有的能量(功率)恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量(功率)之和。 信号的能量 基底信号的能量 各信号分量的能量 数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。　 当Kr=1时， 三角函数集 虚指数函数集 勒让德多项式 {Pn(x)}(n=0,1,2,…)在(-1,1)内构成完备的正交函数集。 Walsh函数 完备的正交函数集 二值函数 常用的正交函数集 * 信号表示式与多维矢量之间存在许多形式上的类似，信号用多维矢量描述便于对信号的性能、信号分析与处理进行更深入的研究。 * 若信号x(t)的能量为无穷大，定义信号的功率。 Signals and Systems, Tsinghua University * Signals and Systems, Tsinghua University * Signals and Systems, Tsinghua University * 优秀精品课件文档资料 第6章 信号的矢量空间分析 信号矢量空间的基本概念； 信号的正交函数分解； 相关； 能量谱和功率谱； 信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析 相关、正交概念的应用：匹配滤波器，CDMA §6.1 信号矢量空间的基本概念 线性空间 范数 内积 柯西－施瓦茨不等式 一．线性空间 现代信号分析理论要借助于泛函分析等数学工具； 泛函分析中，一个重要概念是函数空间，即由函数构成的集合，并在集合上赋予各种代数、拓扑结构. 线性空间： 设X为一非空集合，若在X中规定了元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的结合律及分配律，则称X为一线性空间。 (1) N维实数空间R N R N 空间的元素 x 由 N 个有序的实数组成 x与元素 y=(y1, y2, …, yN)T 相加及与a数乘定义为 如果上述定义中实数改为复数，则构成复数空间CN (2) 连续函数空间 L 在区间[a,b]上全部连续函数的集合构成该空间。 各函数的相加和倍乘定义为 (x+y)(t)=x(t)+y(t), t∈R (ax)(t)=a x(t), t∈R 二．范数、线性赋范空间 范数是矢量长度概念的推广，是矢量自身的重要的属性. 设X为一线性空间，若对于任意x∈X，有一个确定的非负实数||x||与它对应，并满足 (1) ? x∈X，||x||≥0，当且仅当x=0，||x||=0 (2) ? x∈X 及a∈R ，||ax||=|a|·||x|| (3) ||x+y||≤||x||+||y|| 则称||x||为X的范数，X为线性赋范空间。 完备的线性赋范空间称为Benach空间。 1. RN与CN空间的范数 令 p 为实数，1≤p＜∞，在 RN 或 CN 空间元素x=(x1,x2, …, xN) 的 p 阶范数定义为 最常用的范数为||·||1 ，||·||2 ，||·||∞ 对于x∈C2， 给定x=(1,j)，则其范数为 例 在R2或R3中，二阶范数的物理意义是矢量的长度； ||x||2也称为欧氏范数或欧氏距。 2. 连续/离散时间信号空间 L/ l 空间中的范数 (1)连续时间信号空间 L中，元素x的p阶范数||x||p的定义 对于定义在闭区间内的信号， sup表示其幅度值。 (2)离散时间信号空间 l 中，元素x的p阶范数||x||p的定义 x(t)的上确界 1-范数表示 信号作用的强度 1-范数 2-范数的平方表示信号的能量 2-范数 ?-范数 定义在闭区间的x，||x||? 表示信号的峰值,即信号幅度 U或I在单位电阻上消耗的能量 三．内积 直角坐标平面内两矢量相对位置关系 内积的概念反映了元素之间的关系，在时域信号 中则反映了信号之间的相互关系，如正交、 相关; 完备的内积空间称为Hilbert空间。 先由二维矢量空间引入内积的概念 或 推广之，多维 上式表明：给定了的矢量长度，标量乘积式反映了 两矢量之间相对位置的“校准”情况。 二维矢量空间的内积