信号与系统郑君里版第二章.pptVIP

第二章第1讲 第二章 连续系统的时域分析 微分方程的经典解法 0+和0-初始值 零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应 卷积积分 2.1 LTI连续系统的响应 一、微分方程的经典解 微分方程的经典解： y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解） 齐次解是齐次微分方程 yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) 齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）： 特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。 用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。 [例2.1.1]描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)，求（1）当f(t) = 2 ，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = ，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。 由表2-2可知，当f(t) = 2 时，其特解可设为 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 （2）齐次解同上。 当激励f(t)= 时，其指数与特征根之一相重。 由表知：其特解为 yp(t) = (P1t + P0) 代入微分方程可得 P1 = 将初始条件代入，得： y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 C2= –1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。 二、关于 0- 和 0+ 初始值 1、0－ 状态和 0＋ 状态 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的； 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含?(t)及其各阶导数。 如果包含有?(t)及其各阶导数，说明相应的0－状态到0＋状态发生了跳变。 0＋ 状态的确定 已知 0－ 状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。 求 0＋ 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。 2、冲激函数匹配法 目的： 用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值 的关系。 应用条件：如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导 数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋） [例2.1.2]：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)，已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 2.3 卷积积分 三、卷积积分的性质 1、卷积的代数性质 交换律：?1(t)??2(t)=?2(t)??1(t) 分配律：?1(t)?[?2(t)+?3(t)]=?1(t)??2(t)+?1(t)??3(t) 结合律：[?1(t)??2(t)]??3(t)=?1(t)?[?2(t)??3(t)] 2、主要性质： f(t)与阶跃函数的卷积： 　时移性质 若?1(t)??2(t)=?(t)， 则有?1(t-t1)??2(t-t2)=?(t-t1-t2) [例2.3.8]求图所示两函数的卷积积分。 [例2.3.9]已知 求 f1(t) 。 本章总结： 1、LTI连续系统的响应： 全响应＝齐次解(自由响应)＋特解(强迫响应) 2、关于0-和0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有?(t)及其各阶导数