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第12章 信用风险和信用衍生工具 围绕公司价值的建模 围绕违约风险的建模 信用度量术(CreditMetrics) 崩盘度量术(CrashMetrics) 考虑到违约风险后的衍生工具定价 信用衍生证券 信用衍生工具的定价 信用风险和信用衍生工具 在存在违约风险的情况下，如何对金融资产进行估值是本章的重点。估值的方法可以分为两类：一类是围绕着发行公司(或国家)的价值问题展开的建模；另一类是围绕违约风险的建模。稍后我们还将讨论像标准普尔和穆迪等信用评级公司提供的服务。这些信用评级为人们提供了一种对公司相对资信的公开评估。 本章还将介绍在业界广泛使用的信用度量术和崩盘度量术。之后我们将讨论考虑违约风险后的衍生工具定价问题、信用衍生工具及其定价问题。 公司价值为随机变量的模型 假定发行债券的公司具有价值A,而且A是随机的并服从随机微分方程： 违约通过破产的概念来加以建模。我们将假定一旦公司的价值低于某一临界水平时公司将宣布破产。 确定利率的情况 (1) 假定利率是固定已知的。由于债券价值V是公司价值A和时间的函数，运用伊腾引理（6.10）我们有： 确定利率的情况 (2) 由于风险源相互抵消,我们就可得到V遵循的偏微分方程： 边界条件 随机利率的情况 (1) 现在假定债务的价值 V 是一个三个变量的函数，则我们有 V(A, r, t)。 为了得到 V 应满足的方程，我们将一单位风险债券多头，加上 单位价格为P(r,t)的无风险零息票债券空头和 单位的空头A组成对冲组合: 随机利率的情况 (2) 消除 dr 项和dA,我们就可得到V遵循的偏微分方程: 随机利率的情况 (3) 在公司价值和利率之间的相关关系为零时的这种特殊情况下，上述偏微分方程的解可写作如下形式： H(A,t)满足: 用可测的参数和变量建模(1) 我们将对一个经营程序非常简单的公司的债务进行定价: 它出售自己的产品, 支付成本并将所有的利润存入银行。在这个模型中的关键量是公司的收入。这些收入被认为是公司从产品销售中获得的总收入。利润就是经营总收入扣除成本。假定公司的年总收入 E 是随机的 用可测的参数和变量建模(2) 我们假定公司的年固定成本为 E* 。可变成本为 kE 。利润E - E* - kE = (1 - k)E - E* 存入银行赚取一个固定利率 r 。如果我们用 C 表示在银行账户中的现金，那么有： 用可测的参数和变量建模(2) C 应满足的随机微分方程: 仍然通过伊藤引理和无套利定价法，我们可以求出dV遵循的偏微分方程： 用可测的参数和变量建模(3) （一）有限责任公司 如果公司没有负债，当时间 T0 公司在银行中具有一个负的金额时，则 V(E,C,T0) = max(C, 0) （二）合伙企业 如果企业所有者对公司的负债负有无限偿还责任，则当C0时， V(E,C,T0) = C 泊松过程和瞬态违约风险(1) 建立信用风险模型的另一种方法采用了瞬态违约风险q。如果在t时刻公司没有违约，那么在t和t +dt期间的违约概率是qdt。 设Q(t;T)是给定公司在t时刻没有违约的情况下，在T时刻之前公司不违约的概率。在t时刻公司不违约地前提下，公司在T时刻不违约的概率Q(t;T)等于公司在T-dt时刻不违约的概率Q(t;T -dt)乘以T -dt时刻到T时刻之间不违约的概率（1-qdt）。即： 泊松过程和瞬态违约风险(2) 在不考虑违约风险溢酬的情况下，有违约风险的债券价值等于无违约风险的债券价值乘以有违约风险债券不违约的概率，因此 现在我们将它应用在衍生证券上，包括风险债券。我们将假定即期利率是随机的。为了简化，我们将假定即期利率的扩散过程和违约事件的泊松过程之间不存在相关关系。 构造一个“对冲”的资产组合： 泊松过程和瞬态违约风险(3) V遵循的偏微分方程： 违约风险的期限结构(1) 假定一家公司发行不同到期日的风险债券。我们可以从这些债券的市场价格推断人们所认为的违约风险是如何取决于时间的。 如果违约风险是依赖时间的，q(t)，并且与即期利率不相关，而且不考虑违约风险溢酬，那么风险债券的价值就是： 违约风险的期限结构(2) 如果风险债券的市场价值为V*，那么我们可以写作 对其求T的微分，就得到目前市场对违约风险的观点。 随机的违约风险 (1) 为了“改进”违约风险q固定的模型，并使其与市场价格相一致，现在我们考虑一个违约的瞬态概率本身是随机的模型。 随机的违约风险 (2) 为了对我们的风险零息票债券进行估价，我们构造一个资产组合，它是由一单位价值为V(r,q,t