偏微分方程离散差分格式差分方法等.pptVIP

* 插值 QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics) 插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。 * 插值 高精度： N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。 界面上导数可以用插值公式的微分求出。 * 3.2.5有限体积法的边界条件 用边界条件替代面积分 入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) 壁面和对称面：通量为零 边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数 * FV例子 * 3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式 * * 3.2.6.1 Godunov方法的思想 * 一阶迎风格式(CIR格式) * 用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式 * * Riemann解图示 * * 3.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式 Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系 * 移动网格上的积分回路 * 移动网格上的Godunov格式 * 固定网格上的Godunov格式 * Lagrange网格上的Godunov格式 * Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解 * * 二维Euler方程组的Riemann问题 * * 仅是局部化的1D RP * 第3课后阅读提示 傅德薰《计算流体力学》，6.3 水鸿寿《一维流体力学数值方法》Godnov格式一节 《Computational Methods for Fluid Dynamics》, Ferziger and Peric, Springer Chap. 4 * 作业3 傅《书》习题3-13. 傅《书》习题3-12. * （三）偏微分方程的数值离散方法 3.1 有限差分法 3.2 有限体积法 (有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线） * 3.1 有限差分法 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法 * 3.1.1 模型方程的差分逼近 * 3.1.2 差分格式的构造 * 3.1.3 差分方程的修正方程 差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。 Warming-Hyett方法： 差分方程(2)写成算子的形式： * 3.1.3 差分方程的修正方程 (续) * 3.1.3 差分方程的修正方程(续) * 3.1.4 差分方法的理论基础 相容性，稳定性，收敛性 等价性定理 Fourier稳定性分析 * 3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分析 * 3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy) * 3.1.5 守恒型差分格式 流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组： 定义 * 3.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒性质： 非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。 * 3.1.5 守恒型差分格式（续） 守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式 是和守恒律 相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。 推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用 例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式 * 3.1.6 偏微分方程的全离散方法 对差分格式的一般要求： 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等) 主要指非定常方程的时间离散 * 3.1.6偏微分方程的全离散方法(续） 两层格式 Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多层格式 Leap-F