傅立叶Fourier变换方法.pptVIP

12 . 3 傅立叶(Fourier)变换方法 12 . 4 循环约化方法的思想 例子 思考题 * * （一）由连续傅立叶变换到离散傅立叶变换 实函数 其连续傅立叶变换 为 的谱，它是定义在 的复连续函数。反之， 若 以L为周期，则仅当 时 才非0： 这也可视为区间[0, L]上的变换，即在有限区间上定义的f (x) 具有分离谱 反变换为 反之， 中等间隔 离散函数 的傅立叶变换为 可见： ， n为任意整数, 离散函数 的谱是周期谱 即 为 k 空间中以 为周期的函数。 其逆变换为 在 k 空间中以 为间隔可划分无限多个周期带。我们称不同周期带中的模 互为重影 (aliasing)。 模和 模互为重影，两个模在离散点上具有相同行为，无法由离散采样加以区分 重影的产生源于离散化过程中丢失了信息，虚线所含信息超出了能提供的信息，应舍弃，通常取 称为本带，之外所有周期带称为短波带。 截止波长为 注意：无限区间的离散函数的谱为本带中的连续谱。 若 以N为周期，即 ，则谱在本带中为离散值。 其中 相应地， 即为定义在有限空间（或周期）离散函数 的傅立叶变换 由于 ，可见 既具有离散性，也具有周期性。其离散性是由 的周期性决定，其周期性是由 的离散性决定。 傅立叶变换： 可推广到多维（如2D） 逆变换： 求和上下限的变化利用了其周期性 对一维，其计算量约N2个复运算，采用FFT， 则降为Nlog2N。故N=2m。 （二）傅立叶方法 若系数是均匀的，则可对上式快速直接求解 均匀问题：所有系数与 j, l 无关 半均匀问题：所有系数仅与 j 或仅与 l 有关 o S W N E 如矩形解域、均匀网格下常系数线性椭圆型方程 1 均匀问题 例： 若采用正方形网格 则 边界条件 (1)固定边界： (2)自由边界： (3)周期边界： 或 分为单周期和双周期边界条件 当 和 不为0，则称为非齐次边界条件，否则为齐次边界条件。 非齐次问题很容易化为齐次边界条件，方法如下： 任取一离散函数， 它在边界上的取值为 令 ，则 满足齐次方程及如下差分方程 其中 特别地，若 很小，可简单地取 的内点值为0 非边界邻点处 ，边界邻点处 在其两边分别乘 ，再对下标 j (1 M)及l (1 N)求和 其中 1.1 双周期边界条件 其反变换为 1 通过快速傅立叶变换由 求 利用 求 通过快速傅立叶反变换由 求 计算量为 计算步骤 当 时， 周期边界条件 以1D齐次边界条件为例 第一类边界条件 1.2 第一类边界条件 源的反对称延拓 周期边界条件 第二类边界条件 1.2 第二类边界条件 源的对称延拓 2 半均匀问题 如x方向非均匀网格 对每一个分量 n ，上式给出一个沿 x 方向的三对角方程组， 采用追赶法即可将 解出，再通过 l 方向的傅立叶反变换将 求出。 由于上式各系数与 l 无关，可在 y 方向进行傅立叶变换 此法也可用于均匀问题，特别是对单周期边界条件，可在具有周期边条的方向进行傅立叶变换，而另一方向采用追赶法。 对2D可分离变量椭圆型方程或非均匀网格下的常系数方程 它不可使用傅立叶方法，但可使用循环约化法，要求格点数 其中 因此，我们将所有格点写成块三角形式 循环约化方法的基本思想 （以一元三对角矩阵为例） 连续写出三个相邻的方程 由第一、三式解出 后代入第二式 其中 这样做后，方程数大致减至一半 对上式继续约化，至第 r 步 （rk） 当进行至第k-1步，则仅剩一个未知数, i