傅立叶级数.pptVIP

* * * 第七节 傅立叶级数 一、三角级数的有关概念 1、三角级 数 2、三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级 数 第七节 傅立叶级数 一、三角级数的有关概念 正弦函数是一种常见的周期函数. 如描述简谐振动的函数 非正弦函数的周期函数，将展开成由简单的周期函数如三角函 类似于前面用幂级数展开式表示与讨论函数，对于 数组成的级数，即由下式来表示周期函数f(t): 问题： 1、三角级数 令 则有 称形如上式的级数为三角级数， 为常数。 称为三角函数系 在区间[ -π,π]上正交, ①任何不同的两个函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分等于零, 2、三角函数系的正交性 ②两个相同函数的乘积在区间[ -π,π]上的积分不等于零, 二、函数展开成傅立叶级数 设函数f(x)是周期为 的周期函数,且能展开成三角级数: 1、系数怎么求？ 2、是否收敛？ 傅立叶(Fourier)系数 函数f(x)的傅立叶级数. 狄利克雷（Dirichlet）收敛定理 ⑴ 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点, ⑵ 在一个周期内至多只有有限个极值点, 则f(x)的傅立叶级数收敛,并且 当x是 f(x)的连续点时,级数收敛于f(x); 当x是 f(x)的间断点时,级数收敛于 例1 设 展开成傅立叶级数. 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 将 解 例2 设 展开成傅立叶级数. 是周期为 的周期函数,它在 上的表达式为 将 解 所以 的傅立叶级数展开式为 如果 只在 上有定义,且满足收敛定理的条件, 则 也可以展开成傅立叶级数. 补充 的定义, 使它拓广成周期为 的周期函数 方法为： 在 或 外 的定义域的过程称为周期延拓. 方式拓广函数 按这种 注 先求 的傅氏级数， 再限制 由于此时 从而得 的傅氏级数，在 处，此级数收敛于 所以 的傅立叶级数展开式为 例3 将函数 展开成傅立叶级数 解 * * * * * * *