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关于数学化及有效学习问题 孙晓天 中央民族大学(100081) sunxt0761@ 为什么要搞数学化 什么是数学化 如何实现数学化 数学化与有效学习的关系 从“后劲儿”谈起 中国的足球没有后劲 中国的数学也没有后劲 后劲光靠练是练不出来的 更需要问题驱动、想象力、独立思考、活动空间 “双基”与“后劲儿” 对“双基”的几种理解： 计算和证明 有限时间内完成数学任务的数量和质量 … 重心在技能，其实是“单基” “算”是我们的强项 而直观、想象、经验、抽象、计算、演绎缺一不可 我们弱在提问题、想办法、主动探求等方面 攒后劲儿就要在弥补弱项上下大功夫 弥补弱项离不开数学化 数学的后劲儿需要数学化支撑 数学化是数学新课程追求的目标 数学化从何入手？ 陈建功先生语： 教材的内容，对于学生宜富于兴趣；枯燥无味的东西，决不能充作教材； 成人所喜之推理或实用问题，未必为未成年的青年所满足。吾人应该站在学生的立场；顺应学生的心理发展去教育学生，才能满足他们的真实感。 某些教材,虽然具有高度的实用性价值或高度的论理性价值,假使学生不发生任何真实感,就心理的原则而言,这些教材,简直是没有教育的价值。 …..后来许多学者，对把各科纯论理的展开，颇有兴趣。数学不光是在学术上分了科， 更是 各自陷于孤立的局面。 然而在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了有机的统一，那就方便多了。综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以使学生明白生动的数学体系。 （引自 “二十世纪的数学教育” 1956 ） 数学化应从下列方向入手： 教材 学生的成长水平与内在的学习需求 数学的现实性、真实感 有助于学生把握数学的本质 学以致用 何为数学化 搜集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题 从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程 在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。 摘自《标准》 具体应包括： 从情景问题中发现数学问题 利用生活中积累的常识和已习得的知识与方法，去寻求解决问题 在解决问题的过程中探索新的概念和方法，学习数学 关注：数学的概念和方法是从哪里来的？它们有什么用？可以怎么用？ 一步步地体验数学的抽象和形式化。 借助问题得滚动式集束（成串）出现，使学生未曾接触过的新概念、新思想、新方法能够涌现 由学生自己通过发现习得一些尚未学过的数学 这不是个一蹴而就的过程，需要花费一些功夫，但最终可能重新发现一个严格的数学系统 弗兰登塔尔的数学化 大体是两步走 1.把现实问题转化为数学问题（水平数学化） 确定情景问题中包含的数学成分 建立数学成分与已知的数学模型之间的联系 通过不同方法使这些数学成分形象化和公式化 找出蕴含其中的关系和规则 考虑相同数学成分在不同情景问题中的表现 作出形式化的表述 2.把数学问题转化为抽象的数学形式（垂直数学化） 用数学公式表示关系; 对有关规则作出证明; 尝试不同数学模型的建立和使用; 对得出的数学模型进行调整和加工; 综合不同数学模型的共性,形成功能更强的新模型; 用数学公式和语言精确表述得到的新概念和新方法; 数学化 实例1 3个小朋友分36块糖果，每人能分到几块？ 学生的尝试可以概括为两个主要方法：分配的方法和比例的方法 分配的方法主要是找到3个相等的部分 比例的方法是“一次分走3块糖一共能分多少次” 这两种方法之间是紧密相关联的：分配的方法是分成了3个相等的部分；比例的方法则是每分一次，糖的总数以3的倍数的形式减少 启示 学生在解决“分”的问题时，倾向于重复做减法的方式 原来的那个“分糖”问题已经来到了严格的除法的门口 虽然还需要一些提炼和转换工作，但核心的思想和方法已经被发现了 实例2 1128名球迷要随主队参加客场比赛。每辆大客车可以乘坐36人，并且每10辆交通公司给予优惠。 学生的探索 除减法外，每10辆可以优惠这个信息很重要，“乘10”自然派上用场 36 [1128] 360…10× 768 360… 10× 408 360… 10× 48 36… 1× 12 更进一步 稍微调整一下就是严格的除法算式了 学生自己得出的算法已经来到抽象的竖式除法门口 实例3 阴影和角 　　位于New Mexico州的Acoma Pueblo被认为是美国最古老的村庄.她以其美丽的陶器和建筑而闻名.　　通过对古陶的研究,人类学家认为这个村庄至少已经在这里存在1000年了!上面是这个村庄的全景图,她仍然保持着100年前的样子. 这是村庄主要街道