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几何中的动点问题 游书兵 动点题的分类： 1、动点在一条直线上运动。 2、动点在多条直线上运动。 3、图形的运动产生的问题。 一、动点在一条线上运动： 如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值； （1）求AD的长； AD=5 （3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. 要使得四边形PDQM是菱形，不变的量是：点M必在∠D的平分线上。那么PQ与DM互相垂直平分，△PQD是正三角形，先求出DM的值，再求出DQ，最后作出判断即可。 M Q P O 1.如图，抛物线的顶点为P(1，0)，一条直线与抛物线相交于A(2，1)，B(-0.5,m)两点． ⑴求抛物线和直线AB的解析式； ⑵若M为线段AB上的动点，过M作MN∥y轴，交抛物线于点N，连接NP、AP，试探究四边形MNPA能否为梯形，若能，求出此点M的坐标；若不能，请说明理由． 类似的问题 M N 此题中不变的是AP的位置，要使四边形MNPA为梯形，MN与AP就不可能平行，只能使PN∥AM，那么只需过点P作AB的平行线，然后判断平行与抛物线的交点是否在BP之间即可。 2.如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r（厘米）与时间t（秒）之间的关系式为r＝1+t（t≥0）． （1）试写出点A，B之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式； （2）问点A出发后多少秒两圆相切？ A B N M 不变的是d与t的函数关系，只需利用两圆相切的条件列出方程即可解决（有二种情况：外切与内切） 二、动点在多条线上运动： 如图，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD . (1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APD的面积； (2) 当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1 cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2 cm的速度匀速运动. 过Q作直线QN，使QN‖PM. 设点Q运动的时间为t秒(0≤t≤10)，直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S cm2 . ① 求S关于t的函数关系式；② 求S的最大值。 P Q D C B A M N 这类动态问题，题目要求面积与运动时间的函数关系式，这就需要我们根 据题目，综合分析，分类讨论. P点从A→B→C一共用了12秒，走了12 cm，Q 点从A→B用了8秒，B→C用了2秒，所以t的取值范围是 0≤t≤10 不变量：P、Q 点走过的总路程都是12cm，P点的速度不变，所以AP始终为：t+2 若速度有变化，总路程 =变化前的路程+变化后的路程=变化前的速度×变化点所用时间+变化后的速度×（t－变化点所用时间）. ① 当0≤t≤6时，点P与点Q都在AB上运动，此时两平行线截平行四边形ABCD是一个直角梯形 ，只需用梯形的面积公式表示即可； ②当6≤t≤8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.两平行线截平行四边形ABCD的面积为平行四边形的面积减去两个三角形面积 ； ③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动 ，作出相应图形解决即可。 Q D C B A M N 1.如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒． （1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度； (2) 求正方形边长及顶点C的坐标； (3) 在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标． 类似的问题 ① ② 2.已知，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒， （1）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，指出自变量的取值范围，并求出